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1、第一部分 实数的有关概念第 5 讲二次根式一、本章概述在本章中,通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习,使学生掌握二次根式的化简与运算,明确二次根式中字母取值范围的确定方法,会对二次根式进行化简。在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中,都会用到本章的相关内容,熟练掌握前面我们学习的平方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识,有利于本章内容的学习与深化。 二、 本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简,运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算。【本章难点】对 (a0)是一个非
2、负数的理解;对等式 和20a的理解及应用。20)(a 三、中考调研考情播报1、课标解读课标要求 了解:平方根、算术平方根、立方根、二次根式的概念和性质。掌握:二次根式的化简及二次根式的加、减、乘、除和混合运算。考向瞭望 平方根和立方根的求值;二次根式的混合运算。2、命题分析结合近年中考试题分析,二次根式的内容考查主要有以下特点:命题方式为根据二次根式的性质进行化简和简单运算;命题的热点为通过二次根式的化简求值考查其混合运算。3、复习指导二次根式的基本性质是根式化简、运算的根本依据,所以掌握二次根式的基本性质是学好本讲内容的关键;二次根式的化简求值和混合运算是知识考点,所以应通过各种形式的题目进
3、行训练,此类题目具有一定的综合性,常常与特殊三角函数值、幂运算等知识结合来考题。四、教学过程(一)基础梳理考点扫描1、二次根式的概念及其性质(1) 、二次根式的有关概念平方根:一个数的平方等于 a,这个数就叫 a 的平方根。算术平方根:正数的平方根和零的平方根统称算术平方根。立方根:一个数的立方等于 a,这个数就叫 a 的立方根。二次根式:形如 这样的式子,叫做二次根式。0(2)、二次根式的性质: ; ;202(0)a ;(0,)abbA(0,)ab(3)、同类二次根式的概念:二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这些二次根式就叫做同类二次根式。(4)、最简二次根式必须同时满足的条
4、件:a、被开方数的因数是正整数,因式是整式;b、被开方数中不能含有开方开得尽的因数或因式。2、二次根式的运算(1) 、二次根式的加减法:先将二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式;(2) 、二次根式的乘除法:二次根式的乘法: (0,)abbA二次根式的除法: ,注:二次根式的运算结果一定要化为最简二次根式。(3) 、二次根式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的,先算括号里面的。(二)典例探究发散思维知识考点一:二次根式的意义【例 1】 (2010.无锡中考)使 有意义的 x 的取值范围是( )3-1(A) (B) (C) (D) 13xx1313x【思路点拨】 被开方数
5、0 x 的取值范围 【自主解答】选 C。要使 有意义,只要使 ,解不等式得3-10x【变式训练】 (1) (2010.绵阳中考)要使 ,则 x 应满足( )132(A) (B) (C) (D) 【解析】选 D.32x132x且 32知识考点二:二次根式的性质【例 2】 (2010.眉山中考)计算 的结果( )(A) 3 (B)-3 (C)3 (D)9【思路点拨】 根式的性质 去绝对值 【自主解答】选 A。本题考查根式的性质 ,在本题中 = =3.2(0)a 23【变式训练】 (1) (2011.烟台)如果 =1-2a,则( )21(A) ( B) (C) (D) 【解析】选 B2a12aa12
6、a(2) (2010.荆门中考)化简 =_. 【解析】原式=0x知识考点三:最简二次根式的概念【例 3】 (2011.上海)下列二次根式中,最简二次根式是( )(A) (B) (C) (D) 150.550【思路点拨】 最简二次根式的三个特征:1、开方开不尽;2、分母中不含有根号;3、被开方数中不含有分母。 【自主解答】选 C(2013.中考预测题)下列二次根式中,是最简二次根式的是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选 B.2x21b1x4a知识考点四:二次根式的运算【例 4】 (2011.上海)计算: 0132732【解析】原式= 1()1= 3232=【思路点拨】 二次根式的性
7、质 二次根式运算法则的使用 【变式训练】(1)下列运算正确的是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选 C234658427323(2) (2009.南充中考)计算: 0912【解析】原式= 1233【例 5】 (2010.湖南益阳)已知 ,求代数式 的值=x2x+41【思路点拨】 若将 看成一个整体,那么所求的代数式正好构成一个完全平方式,可按公式将所求的代数式进行化简,然后再代值求解。【解析】原式= ,当 ,原式= =322x+1-13x2【变式训练】 (2011.山东德州)当 时,求 _21x【解析】原式= ,当 时,原式=1x212(三)基础训练 考点达标( A) 3 (B)-
8、3 (C)33(D)2.下列计算正确的是( )(A) ( B) (C) (D)822125263.(2010.广州中考)若 ,化简 ( )1aa(A)a-2 ( B)2-a (C)a (D)-a4.使式子 有意义的 x 的取值范围是_2x5.计算: 0201536化简求值: ,其中2yxxA00sin45,ta6y(四)知能综合检测1在下列各式中,二次根式的 的有理化因式是( )ab(A) (B) (C) (D)ababab2.估计 的运算结果应在( )1320(A)6 到 7 之间 (B)7 到 8 之间 (C)8 到 9 之间 (D)9 到 10 之间3.(2011.浙江)已知 ,则代数式 的值是( )2,1mn23mn(A)9 (B)3 (C)3 (D)54.若实数 x,y 满足 ,则 xy 的值是_.0xy5.若 ,则实数 a 的值为_.26942a6. 观察下列分母有理化的计算(探究创新题):, , ,11232143154.从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:( . )(201)13242019A制作者:珙县杉木树中学 曹玲1.20.9无 锡 中 考 的 值 等 于 ( )