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1、,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识来解决它们.,一、创设情境，引入新知,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地. 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,一、创设情境，引入新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题. 这个问题后来被称为“将军饮马问
2、题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？,一、创设情境，引入新知,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线.,二、合作交流，探究新知,你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；,二、合作交流，探究新知,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l上的点. 设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C
3、在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）.,二、合作交流，探究新知,你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？,追问1如何将点 B “移” 到 l 的另一侧 B 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB 的长度相等？ 追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B 吗？,三、运用新知,如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？,
4、B,A,l,C,作法： （1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B； （2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C. 则点 C 即为所求.,B,三、运用新知,你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接 AC，BC，BC. 由轴对称的性质知， BC = BC，BC = BC. AC + BC = AC +BC = AB， AC + BC = AC + BC. 在ABC中，AB AC + BC， AC + BC AC + BC. 即AC + BC 最短.,B,A,l,C,B,C,三、运用新知,追问证明 AC +BC 最短时，为什么要在直线
5、 l 上任取一点C（与点 C 不重合），证明 AC +BC AC + BC？这里的“C” 的作用是什么？,若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于 AC +BC，就说明 AC + BC 最小.,B,A,l,C,B,C,三、运用新知,如图，从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？,A,B,N,M,C,作法：1. 将点 A 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 C， 2. 连接 BC 交河对岸与点 N， 则点 N 为建桥的位置，MN 为所建的桥.,三、运用新知,1. 如图，在平
6、面直角坐标系中，点 A(2，4)，B(4，2)，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是() A. (2，0) B. (4，0) C. (2，0) D. (0，0),C,四、巩固新知,2. 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径.,基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路. 将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点R，使 PR 与 QR 的和最小”.,四、巩固新知,1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题. 2. 解决最短路径问题的方法： 借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值.,五、归纳小结,再 见,
