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1、二次函数 典型习题1.抛物线yx22x2的顶点坐标是 ( D )A.(2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,3)2.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( C)ab0,c0ab0,c0ab0,c0ab0,c0 第,题图 第4题图3.二次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是()Aa0,b0,c0 Ba0,b0,c0Ca0,b0,c0 Da0,b0,c04.如图,已知中,BC=8,BC上的高,D为BC上一点,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、B),设E到BC的距离为,则的面积关于的函数的图象大致为( )5. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的
2、顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m4,那么AB的长是(C )A. 4+m B. mC. 2m-8D. 8-2m6.抛物线与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为 4 7.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、(),则对于下列结论:当x2时,y1;当时,y0;方程有两个不相等的实数根、;,;,其中所有正确的结论是(只需填写序号)8.已知二次函数中,= 2,则该函数必过 (1,2) 这个点9.求二次函数在-3X0上的取值范围为 1,5) 注意区间的开闭 10.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为,且是x的二次函数,已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,(1)求此二次
3、函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. 解:(1)设所求二次函数的解析式为,yOx则,即 ,解得故所求的解析式为:.(2)函数图象如图所示.由图象可得,当输出值为正数时,输入值的取值范围是或11.已知抛物线yx2mxm2. (1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB,试求m的值;(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于27,试求m的值.解: (1)(x1,0),B(x2,0) . 则x1 ,x2是方程 x2mxm20的两根.NMCxyOx1 x2 m
4、, x1x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . 解得:m=1或m=3(舍去) , m的值为1 . (2)M(a,b),则N(a,b) . M、N是抛物线上的两点, 得:2a22m40 . a2m2 .当m2时,才存在满足条件中的两点M、N. .这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为(0,2m),而SM N C = 27 ,2(2m)=27 .解得m=7 . 12. .某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售
5、单价多少时,可以获利最大.思路点拨:通过阅读,我们可以知道,商品的利润和售价、销售量有关系,它们之间呈现如下关系式:总利润=单个商品的利润销售量.这里我们不妨设每件商品降价x元,商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利用上面的等量关式,可得到y与x的关系式了,若是二次函数,即可利用二次函数的知识,找到最大利润.解:设销售单价为降价x元. 顶点坐标为(4.25,9112.5).即当每件商品降价4.25元,即售价为13.5-4.25=9.25时,可取得最大利润9112.5元13.已知二次函数的图象如图所
6、示(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(4)将OAC补成矩形,使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)解:(1)设抛物线的解析式, 其顶点M的坐标是 (2)设线段BM所在的直线的解
7、析式为,点N的坐标为N(t,h), 解得, 线段BM所在的直线的解析式为 ,其中 s与t间的函数关系式是,自变量t的取值范围是(3)存在符合条件的点P,且坐标是,设点P的坐标为P,则,分以下几种情况讨论:i)若PAC90,则 解得:,(舍去) 点ii)若PCA90,则 解得:(舍去) 点iii)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,所以边AC的对角APC不可能是直角(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上,如图a,此时未知顶点坐标是点D(1,2), 以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未知顶点坐标是E,F 图a 图b