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1、多元函数微分学,2012数学竞赛辅导 第七讲,一、重极限、连续、偏导数、全微分 (概念,理论),二、偏导数与全微分的计算,四、应用(极值、切线、切平面),三、方向导数和梯度,一、重极限、连续、偏导数、全微分 (概念,理论),是以“任意方式”,1重极限,题型一:求极限,常用方法:,1)四则运算法则及复合函数运算法则; 2)等价无穷小代换; 3)利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4)夹逼定理;,例1. 求,0,例4 .(江苏2000竞赛),A. 等于1; B.等于0; C.等于-1; D.不存在,D,例2. 求,0,例3. 求,=e,练习 求,=0,题型二:证明重极限不存在,常用方法:,2)
2、 沿某一路径极限不存在.,例5 判断函数,练习 证明重极限不存在,2. 连续,3.偏导数,例6,练习:,几何意义,例7.,则在下列,A.,B.,C.,D.,C,条件中能保证,4.全微分 1) 定义: 若,2) 判定:必要条件:,充分条件:,是否为零?,ii),用定义判定可微性:,3) 计算:,5.连续、偏导存在和可微的关系,题型三 讨论连续性、可导性、可微性,例8.,C,D,例9,A. 极限存在但不连续,B. 连续但偏导数不存在,C. 偏导存在但不可微,D. 可微,例10,例11,练习,练习2,二 偏导数与全微分的计算,根据结构图, “分线相加,连线相乘” “分路偏导,单路全导”,对抽象或半抽
3、象函数,注意,1. 复合函数求导,2.全微分形式不变性,3.隐函数求导法,方法:,(b)两边求偏导,(c)利用微分形式不变性:,(1),(a)公式:,(2),方法:两边求偏导;利用全微分形式不变性,例12 设,题型一 求一阶偏导数与全微分,例13.,例14 .(江苏06竞赛),练习:,B,练习:,例15.,D,题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数,练习. (07数一),练习.,练习.,设,具有二阶连续偏导数,且满足,又,求,例16,例17.,注: 偏导数的坐标变换-看作复合函数求偏导数或全导,2:,例18.(江苏08竞赛),练习1:,3:,题型三 隐函数的偏导数与全微分,例19.,A. 只能确
4、定一个具有连续偏导数的隐函数,B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D,例20.,例21.,练习.,例22 (99数一).,题型四 已知偏导数,求函数.,例23,例24.,例25.,练习:,例26.,三、 方向导数和梯度,1.方向导数,1)定义:,可微,则,2)计算: 若,2.梯度,计算,A)不连续; B)偏导数存在; C)沿任一方向的方向导数不存在; D)沿任一方向的方向导数均存在;,在点(0,0)处,例27 函数,( ),D,D,练习.,练习:,例29,练习:,四、 多元函数微分学的应用,1. 曲面的切平面与法线,
5、2. 曲线的切线与法平面,法向量:,2) 曲面,1) 曲面,2)曲线,切向量:,1)曲线, 切向量:,练习:,题型一 建立曲面的切平面和法线方程,例30.,例31.,练习,练习,题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程,练习(03数一),3. 极值与最值,1).无条件极值,;,必要条件,充分条件,2). 条件极值与拉格朗日乘数法,3).最大最小值,题型一 求无条件极值,1) 在点,处,极大值,2) 在点,处,极小值,解2 配方,解1 : 驻点,例33.,D,注: 通过变形(如取对数,去根号),把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。,例34.,例35,例36,B,例37,解法1:保号性 解法2:排除法 解法3:特殊函数,D,练习(03数一),A,题型三 求最大最小值,题型二 求条件极值,练习 求函数,在条件,下的极值.,解法2: 化为无条件极值.,解法1: 拉格朗日乘数法,极小值,8, 0,练习,B,例38.,A. 最大最小值点都在D的内部;,B. 最大最小值点都在D的边界上;,C. 最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上;,D. 最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上;,例39,练习:,例40.,例41:,提示:,例42.,(5, -5), (-5,5),