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1、小学奥数-整数裂项对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。后延减前伸 差数除以N例1、 计算12233445989999100分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、598、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘
2、,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。12=(123-012)(13)23=(234-123)(13)34=(345-234)(13)45=(456-345)(13)9899=(9899100-979899)(13)99100=(99100101-9899100)(13)将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99100101-012)3。解:12+23+34+45+9899+99100 =(99100101-012)3 =333300例2、 计算355779979999101分析:这个算式实际上也可以看作是:
3、等差数列3、5、7、997、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。35=(357-135)(23)57=(579-357)(23)79=(7911-579)(23)9799=(9799101-959799)(23)99101=(99101103-9799101)(23)将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。 解:35+57+79+9799+99101 =(99101103-135)(23) =10298826 =171647 例3、 计算123234345969798979899分析:这个算
4、式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、598、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。 123=(1234-0123)(14) 234=(2345-1234)(14) 345=(3456-2345)(14) 969798=(96979899-95969798)(14) 979899=(979899100-96979899)(14)右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(979899100-0123)(14)。解:123+234+345+969798+979899 =(979899100-0123)(14) =23527350
5、例4、 计算101622162228707682768288分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3。解:101622+162228+707682+768288 =(76828894-4101622)(64) =2147376通过以上例题,可以看出这类算式的特点是:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加
6、上一。需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。例5、 计算11+22+33+9999+100100分析:nn=(n-1)n+n解:11+22+33+9999+100100 =1+(12+2)+(23+3)+(9899+99)+(99100+100) =(12+23+9899+99100)+(1+2+3+99+100) =991001013+(1+100)1002 =333300+5050 =33835
7、0例6、 计算12+34+56+9798+99100分析:(n-1)n=(n-2)n+n解:12+34+56+78+9798+99100 =2+(24+4)+(46+6)+(68+8)+(9698+98)+(98100+100) =(24+46+68+9698+98100)+(2+4+6+8+98+100) =981001026+(2+100)502 =169150例7、 计算111+222+333+999999+100100100分析:nnn=(n-1)n(n+1)+n解:111+222+333+999999+100100100 =1+(123+2)+(234+3)+(9899100+99)
8、+(99100101+100) =(123+234+9899100+99100101)+(1+2+3+99+100) =991001011024+(1+100)1002 =25492400例8、 计算13+24+35+46+98100+99101解:13+24+35+46+98100+99101 =(13+35+99101)+(24+46+98100) =(99101103-135)6+13+981001026=171650+166600=338250例9、 计算1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4+100)解:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4+100) =122+232+342+1001012 =(12+23+34+100101)2 =(1001011023)2 =171700将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为,首项先甩掉。平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习。练习题:1、 计算14+47+710+9497+971002、 计算246+468+949698+96981003、 计算555+666+777+6565654、 计算3+(3+6)+(3+6+9)+(3+6+9+12+300