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1、第四章习题答案 1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。 解： 设每个季度还款额是R ，有 Ra(4) 5p6% = 1000 解得R ，代入B2 的表达式 B2 = Ra(4) 3p6% = 635.32 元 2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。 解： n = 10000 2000 = 5 B5 = 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元 3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第
2、一年底的未 结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。 解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。 B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元 4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底 还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。 解： 对现金流重新划分，有 B7 = 2000a8p + 1000a3p 北京大学数学科学学院金融数学系第1 页 版权所有，翻版必究 5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知 第4 次还款后的未结贷款余
3、额为5000 元，计算原始贷款金额。 解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有 5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得： L = 5000 a7p a3p = 10814.16 元 6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次 还款后的未结贷款余额。 解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有 20000 = R a12pi L = R a8pi 把(1 + i)4 = 2 代入整理得： L = 5000 1 (1 + i)8 1 (1 + i)12 = 17142.86 元 7 20
4、000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。 解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较 日，有 20000 = Ra20p Xa13p v2 = Ra15p 整理得： X = 20000 a15p a20p (1 + i)2 a13p 8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的 还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明： K = a20p a15p a25p a5p L
5、证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有 L = Ra25p Ks5p (1 + i)10 = Ra5p 整理即得。 9 设Bt 表示未结贷款余额，证明： (1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2; (2) Bt + Bt+3 Bt+1 + Bt+2 证： (1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = ( R + Bt+1 1 + i Bt+1) (Bt+2 (1 + i)Bt+2 R) = R iBt+1 1 + i (R iBt+2) = (R iBt+1) R i(1 + i)Bt+1 R) 1 + i = (R iBt+1)2
6、= (Bt+1 Bt+2)2 (2) Bt Bt+1 = R iBt R iBt+2 = Bt+2 Bt+3 ) Bt + Bt+3 Bt+1 + Bt+2 默认每次还款额是相同的！ 10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算 第6 次还款中的本金量。 解： P6 = B5 B6 = 1000a205p3% 1000a206p3% = 1000 1.0315 = 641.86 元 11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值( (去掉：之和) )。 解： 设第t 年支付的利息为It ，有 It = iBn+1t = ian+1tp = 1 v
7、n+1t 支付利息的总现值为： I = n t=1 Itvt = n t=1 (1 vn+1t)vt = anp nvn+1 12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 1000 1 + v10 元。 此处有改动1000010000改成10001000 证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有 I11 = R(1 v10) = 10000 a20p (1 v10) = 10000 i 1 + v10 = 1000 1 + v10 13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。 解： 不妨设每次还款额为1。 Pt It =
8、 vnt+1 (1 vnt+1) = 2vnt+1 1 由 2vnt+1 1 = 0 t 12.96 验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。 14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算 的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。 解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得 Rv203+1 = 100 R = 100 v18 于是最后5 次本金总额为 R(v1 + + v5) = 724.59 元 15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1
9、) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本 金量。 解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有： 1 = Ra10pi + Ra10pj (1 + i)10 ) R = 1 a10pi + (1 + i)10a10pj (1) I5 = iB4 = iR(a6pi + (1 + i)6a10pj ) (2) P15 = B14 B15 = Ra6pj Ra5pj = R(1 + j)6 16 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一 次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本 金部分是否为等比数列？ 解： 设总还
10、款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。 (1) 利用追溯法可得 Bt = A(1 + i)t Kstp , t n 0, t = n 故 Pt = (K iA)(1 + i)t1, t L 2 Bk1 = Rank+1p 1 故 K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2 ln v + 1 其中x 表示取整函数。 21 设有年利率2.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的4 4 倍 解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法 Bk1 = L(1 + i)k1 Rsk1p Ik = iBk1 = iL(1 +
11、 i)k1 R(1 + i)k1 1 Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1 再由Pk = 4Ik 得k 11。 22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为 103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1) 1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。 解： (1) 设In, Pn 为别为n 年的利息部分和本金部分， I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5 又I1989 + P1989 = I1990 + P1990 P
12、1990 = 67.5 (2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为 101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得B1989 = 1225 。设最后一次还 款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足 1225 = 165.5 1 v11+t i t = 0.653 故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165.5 1.08t1 0.08 = 106.67 元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法。 与原答案有出入 23 某贷款通过2n 次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款
13、额 的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。 解： 由题意得 3 4 L = Ranpi L = Ra2npi vn = 1 3 而In+1 = R(1 vn)，故利息部分所占的比例是 2 3 。 24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清， 只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利 率0.75% 的10 年贷款，对这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？ 解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。 a120p0.75% = (1 + K%)a120p1% K = 13.258% 25 现有10000 元贷款利
14、率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底 的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算： (1) 1500 元中的利息量； (2) 1500 元中的偿债基金存款； (3) 1500 元中偿还当年利息的部分； (4) 1500 元中的本金量； (5) 第11 年底的偿债基金余额。 解： (1) I11 = 10000 10% = 1000 元； (2) 偿债基金存款额为1500 1000 = 500 元； (3) 也即是计算净利息: 1000 5000 8% = 600 元； (4) 本金量1500 600 = 900 元； (5) 11 年底的偿债基金
15、余额5000 (1 + 8%) + 500 = 5900 元。 26 证明：anpi&j = snpj 1 + isnpj 。 证： 利用 L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去R可得 ( L anpi&j iL)snpj = L 再适当变形便可得结论。 27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以 利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款。计算K。 解： 由题意得 Ks10p7% = 104 K = 676.43 28 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式 进行，另
16、一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。 解： 设贷款额为X ，有 X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1 + R2 整理得到 X 2 ( 1 a10p5% + 1 anp5%&4% ) = 1000 X = 7610.48 元 29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以i(2) = 12% 计息，后5 年以i(2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率i(2) = 8% 的偿 债基金。计算第10 年底偿债基金与贷款之间的差额。 解： 前5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 6% = 280 后5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 5% = 400
