排列组合知识点与方法归纳-（最新版-已修订）

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1、排列组合排列组合 一、知识网络一、知识网络 二、高考考点二、高考考点 1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性 质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 三、知识要点三、知识要点 一分类计数原理与分步计算原理一分类计数原理与分步计算原理 1 分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ mn种不同的方法。 2 分步计

2、数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同 的方法， 做第 n 步有 mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= m1 m2 mn种不 同的方法。 3、认知： 上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据， 它们的区别在于， 加 法原理的要害是分类 ： 将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各 种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事 ； 乘法原理的要害 是分步 ： 将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后 这件事才告完成（在这里，

3、完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完 成这件事）。 二排列二排列 1 定义 （1） 从 n 个不同元素中取出 m（ ） 个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一排列。 （2）从 n 个不同元素中取出 m（ ）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，记为 . 2 排列数的公式与性质 （1） 排列数的公式 ： =n（n-1） （n-2）（n-m+1） = 特例 ： 当 m=n 时， =n！=n（n-1）（n-2）321 规定：0！=1 （2）排列数的性质： （） = （排列数上标、下标同时减 1（或加

4、 1）后与原排列 数的联系） （） （排列数上标加 1 或下标减 1 后与原排列数的联 系） （） （分解或合并的依据） 三组合三组合 1 定义（1）从 n 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合 （2） 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示。 2 组合数的公式与性质 （1）组合数公式： （乘积表示） （阶乘表示）特例： （2）组合数的主要性质： （） （上标变换公式） （） （杨辉恒等式） 认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边

5、 组合数下标等于左边组合数下标加 1，而上标取左边两组合数上标的较大者。 3 比较与鉴别 由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排 成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个 步骤。 （1） 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有 关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这 一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2） 注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列” 两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 四、经典例题四、经

6、典例题 例 1、例 1、某人计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60、70 元的单片软件和盒装 磁盘，要求软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式是（ ） A .5 种 B.6 种 C. 7 种 D. 8 种 分析 ： 依题意 “软件至少买 3 片， 磁盘至少买 2 盒”， 而购得 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元，所以，只需讨论剩下的 180 元如何使用的问题。 解 ： 注意到购买 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元，所以，这里只讨论剩下的 180 元如何 使用，可从购买软件的情形入手分类讨论 ： 第一类，再买 3 片软件，不买磁盘，只有 1 种 方

7、法；第二类，再买 2 片软件，不买磁盘，只有 1 种方法； 第三类，再买 1 片软件，再买 1 盒磁盘或不买磁盘，有 2 种方法； 第四类，不买软件，再 买 2 盒磁盘、1 盒磁盘或不买磁盘，有 3 种方法；于是由分类计数原理可知，共有 N=1+1+2+3=7 种不同购买方法，应选 C。 例 2、例 2、已知集合 M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，当 xM 时， 为奇数，则这样的映射 的个数是（ ）A.20 B.18 C.32 D.24 分析：由映射定义知，当 xM 时， 当 xM 时， 这里的 x 可以是奇数也可以是偶数， 但 必须为奇数， 因此， 对 M 中 x 的对应情况逐一

8、分析，分步考察： 第一步，考察 x=-1 的象，当 x=-1 时， ，此时 可取 N 中任一数值，即 M 中的元素-1 与 N 中的元素有 4 种对应方法； 第二步，考察 x=0 的象，当 x=0 时， 为奇数，故 只有 2 种取法（ =3 或 =5），即 M 中的元素 0 与 N 中的元素有 2 种对应方法； 第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为 奇数也可为偶数, 可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是 由分步计数原理可知，映射 共有 424=32 个。 例 3、例 3、 在中有 4 个编号为 1， 2， 3， 4 的小三角形， 要在每一个小三角形

9、中涂上红、 蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂 法？ 解 ： 根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同 颜色，于是考虑以对角的小三角形 1、4 同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分 步计算。 第一类：1 与 4 同色，则 1 与 4 有 5 种涂法，2 有 4 种涂法，3 有 4 种涂法，故此时 有 N1=544=80 种不同涂法。 第二类 ： 1 与 4 不同色，则 1 有 5 种涂法，4 有 4 种涂法，2 有 3 种涂法，3 有 3 种涂法， 故此时有 N2=5433=180 种不同涂法。综上可知，不同

10、的涂法共有 80+180=260 种。 点评 ： 欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具 体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是 从问题中某一事物符合条件的情形入手分类， 或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等 等。 例 4、例 4、将字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。 第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有 3 种不同填法；

11、 第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有 3 种不同填法； 第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有 1 种填法； 于是，由分步计数原理得，共有 N=331=9 种不同填法。 解法二：（采用“列举”方法）：从编号为 1 的方格内的填数入手进行分类。 第一类：编号为 1 的方格内填数字 2，共有 3 种不同填法： 2413 2143 2341 第二类：编号 1 的方格内填数字 3，也有 3 种不同填法： 3142 3412 3421 第三类：编号为 1 的方格内填数字 4，仍有 3 种不同填法： 4123 4312 4321 于是由分类计数原理得共有 N=3+3+

12、3=9 种不同填法，应选 B 解法三 （间接法） ： 将上述4个数字填入4个方格， 每格填一个数， 共有N1=4321=24 种不同填法， 其中不合条件的是(1)4 个数字与 4 个格子的编号均相同的填法有 1 种 ； (2) 恰有两个数字与格子编号相同的填法有 6 种； (3)恰有 1 个数字与格子编号相同的填法有 8 种；因此，有数字与格子编号相同的填 法共有 N2=1+6+8=15 种 于是可知，符合条件的填法为 24-15=9 种。 点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地， 人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。 当

13、正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数不符 合条件的方法种数=符合条件的方法种数。 在这里， 直接法中的 “分析” 与间接法主体的 “分类”， 恰恰向人们展示了 “分步” 与 “分 类”相互依存、相互联系的辩证关系。 例 5、例 5、用数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字 4 位数，其中，必含数字 2 和 3，并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？ 解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。 第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从 1，4，5 这三个数字中任选两个作排 列有 种 ； 进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，

14、又有 种排法， 于是由分步计数原理可知，不含 0 且符合条件的四位数共有=36 个。 第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间 接法” ： 首先从 1，4，5 这三个数字中任选一个，而后与 0，2，3 进行全排列，这样的排列 共有 个。 其中，有如下三种情况不合题意，应当排险： （1）0 在首位的，有 个；（2）0 在百位或十位，但 2 与 3 相邻的，有 个 （3）0 在个位的，但 2 与 3 相邻的，有 个 因此，含有 0 的符合条件的四位数共有 =30 个 于是可知，符合条件的四位数共有 36+30=66 个 点评 ： 解决元素不相邻的排列问题，一般采

15、用“插空法”，即先将符合已知条件的部分 元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入 ； 解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆 绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进 而再考虑大元素内部之间的排列问题。 例 6、例 6、某人在打靶时射击 8 枪，命中 4 枪，若命中的 4 枪有且只有 3 枪是连续命中的， 那么该人射击的 8 枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ） A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种 分析 ： 首先，对未命中的 4 枪进行排列，它们形成 5 个空挡，注意到未命中的 4 枪“地 位平等”，故只有一种

16、排法，其次，将连中的 3 枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面 5 个空格中选 2 个排进去， 有 种排法， 于是由乘法原理知， 不同的报告结果菜有 种 点评 ： 这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的 4 枪“地位平等”， 连续命中的 3 枪亦 “地位平等”。 因此， 第一步排法只有一种， 第二步的排法种数也不再乘以 。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法，请读 者引起注意。 例 7、例 7、 （1） ； （2）若 ，则 n=； （3） ； （4）若 ，则 n 的取值集合为 ； （5）方程 的解集为 ； 解： （1）注意到 n 满足的条件 原式= （ 2） 运 用 杨 辉 恒 等 式 ， 已 知 等 式 所求 n=4。 （3）根据杨辉恒等式 原式= = = = （4）注意到这里 n 满足的条件 n5 且 nN* 在之下， 原不等式 由、得原不等式的解集为5，6，7，11 （5）由 注意到当 y=0 时， 无意 义，原方程组可化为 由此解得