《衡水中学2020届高考数学二轮复习：专题5 函数的综合应用-（学科教研组编写）-（最新版-已修订）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《衡水中学2020届高考数学二轮复习：专题5 函数的综合应用-（学科教研组编写）-（最新版-已修订）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、衡水中学 2020 届高考数学二轮复习：专题 5 函数的综 合应用 1(2019启东测试)若实数 x 满足对任意正数 a0，均有 ax21，则 x 的取值范围是 _ 解析：由题意得 x210，即1x1. 答案：1,1 2函数 f(x)x2 在1，)上的最小值是4，则正实数 a_. a x 解析 ： f(x)2x 0，则 f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)1a4，a5. a x2 答案：5 3关于 x 的不等式 x29|x23x|kx 在1,5上恒成立，则实数 k 的范围为_ 解析： 两边同除以 x，则 kx |x3|，x 6，|x3|0，当且仅当 x3，两等 9 x 9 x 式
2、同时取得等号，所以 x3 时，右边取最小值 6.所以 k6. 答案：(，6 4设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)_. 解析 ： 由 f(x)f(x2)13 得 f(x2)f(x4)13， 即 f(x4)f(x)， 所以 f(99)f(3) 13 f1 . 13 2 答案：13 2 5 已知 a0 且 a1， 当 x(1,1)时， 不等式 x2ax 恒成立， 则 a 的取值范围_ 1 2 解析：不等式 x2axx2 ， 1 2 1 2 画出 y1ax，y2 x2 的图象由图可看出 a1 或 1a2. 1 2 1 2 答案：(1,2 1 2
3、，1) 典例1 函数 f(x)x2ax3a，对于任意的 x2,2总有 f(x)0 成立，求 a 的取值范围 解法一：设 f(x)的最小值为 g(a)，则只需要 g(a)0. (1)当 4 时，g(a)f(2)73a0，得 a ，又 a4，故不存在； a 2 7 3 (2)当 2,2，即4a4 时，g(a)f3a0，得6a2，又 a 2 ( a 2) a2 4 4a4，故4a2； (3)当 2，即 a4，g(a)f(2)7a0， a 2 得 a7，又 a4，故7a0 即2x1，不等式 a恒成立，设 g(x)，利用求导的方法得 x23 1x x23 1x 到 g(x)min2，得到 a2， (3)
4、若 1x0 即 1x2，不等式 a恒成立，设 g(x)，利用求导的方法得 x23 1x x23 1x 到 g(x)max7，得到 a7. 综上所述 a 的取值范围为7,2 通过以上解法，我们认识到对于这一类问题，方法较多、思维较强，考察了等价转换的 数学思想，对于这类问题我们只有归纳总结，多去研究、探讨才能掌握解题规律，灵活选择 解题方法 演练1 (2019南通、泰州、扬州调研)已知函数 f(x)x3x2，g(x)aln x，aR. (1)若对任意 x1，e，都有 g(x)x2(a2)x 恒成立，求 a 的取值范围； (2)设 F(x)Error!Error!若 P 是曲线 yF(x)上异于原
5、点 O 的任意一点，在曲线 yF(x)上总 存在另一点 Q，使得POQ 为钝角，且 PQ 的中点在 y 轴上，求 a 的取值范围 解：(1)由 g(x)x2(a2)x，得(xln x)ax22x. 由于 x1，e，ln x1x，且等号不能同时取得， 所以 ln x0. 从而 a恒成立，a min. x22x xln x ( x22x xln x) 设 t(x)，x1，e x22x xln x 求导，得 t(x). x1x22ln x xln x2 x1，e，x10，ln x1，x22ln x0， 从而 t(x)0，t(x)在1，e上为增函数 所以 t(x)mint(1)1，所以 a1. (2)
6、F(x)Error!Error! 设 P(t，F(t)为曲线 yF(x)上的任意一点 假设曲线 yF(x)上存在一点 Q(t，F(t)，使POQ 为钝角，则0.OP OQ 若 t1，P(t，t3t2)，Q(t，aln(t)， t2aln(t)(t3t2)OP OQ 由于0 恒成立，a(1t)ln(t)1.OP OQ 当 t1 时，a(1t)ln(t)1 恒成立 当 t1 时，a0，所以 a0. 1 1tlnt 若1t1，t0，P(t，t3t2)，Q(t，t3t2)， 则t2(t3t2)(t3t2)0 对1t1，t0 恒成立 当 t1 时，同可得 a0. 综上所述，a 的取值范围是(，0 典例2
7、 (2019苏北四市模拟)已知函数 f(x)(ax2x)ex，其中 e 是自然数的底数，aR. (1)当 a0； (2)若 f(x)在1,1上是单调增函数，求 a 的取值范围； (3)当 a0 时，求整数 k 的所有值，使方程 f(x)x2 在k，k1上有解 解(1)因为 ex0，所以不等式 f(x)0， 即 ax2x0. 又因为 a0，所以不等式可化为 x0 的解集为. (0， 1 a) (2)f(x)(2ax1)ex(ax2x)ex ax2(2a1)x1ex， 当 a0 时，f(x)(x1)ex，f(x)0 在1,1上恒成立，当且仅当 x1 时取等 号，故 a0 符合要求； 当 a0 时，
8、令 g(x)ax2(2a1)x1， 因为 (2a1)24a4a210， 所以 g(x)0 有两个不相等的实数根 x1，x2， 不妨设 x1x2， 因此 f(x)有极大值又有极小值 若 a0，因为 g(1)g(0)a0，所以 f(x)在(1,1)内有极值点，故 f(x)在1,1上不 单调 若 a0 x2. 因为 g(0)10，且 g(x)的图象开口向下，要使 f(x)在1,1上单调， 则必须满足Error!Error!即Error!Error!所以 a0，所以 x0 不是方程的解 所以原方程等价于 ex 10，令 h(x)ex 1， 2 x 2 x 因为 h(x)ex 0 对于 x(，0)(0，
9、)恒成立， 2 x2 所以 h(x)在(，0)和(0，)内是单调增函数， 又 h(1)e30，h(3)e3 0， 1 3 所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和3，2上 所以整数 k 的所有值为3,1. 第一问看似复杂，利用函数有界性不等式就转化成 ax2x0，解二次含参不等式即可； 第二问等价转化成 f(x)(2ax1)ex(ax2x)exax2(2a1)x1ex0 恒成立问题处 理，即转化成 ax2(2a1)x10 恒成立解决；第三问方程即转化成 xexx2 的形式， 结合函数零点的判断方法解决 演练2 (2019盐城中学期中)已知函数 f(x)x2aln x，
10、g(x)bx2， 其中 a， bR 且 ab2.x 函数 f(x)在上是减函数，函数 g(x)在上是增函数 1 4，1 1 4，1 (1)求函数 f(x)，g(x)的表达式； (2)若不等式 f(x)mg(x)对 x恒成立，求实数 m 的取值范围； 1 4，1 (3)求函数 h(x)f(x)g(x) x 的最小值，并证明当 nN*，n2 时 f(n)g(n)3. 1 2 解 ： (1)f(x)2x 0对任意的x恒成立， 所以a2x2.所以a2.同理可得b1. a x 1 4，1 ab2，a2，b1. f(x)x22ln x，g(x)x2.x (2)f(1)10，g 0，且函数 f(x)在上是减
11、函数，函数 g(x)在上是增 ( 1 4) 7 4 1 4，1 1 4，1 函数所以 x时，f(x)0，g(x)0，m. 1 4，1 fx gx 由条件得 min ，m . ( fx gx ) f1 g1 122ln 1 1 12 1 2 1 2 (3)h(x)2 (x 1 x) 1 2(1 1 x) (1)，x 2 x1x1 x 1 2x 当 x0 时，0， 2 x1x1 x 1 2x 则当 x(0,1)时，h(x)0. 故 h(x)在 x(0,1)递减，在 x(1，)递增 所以 h(x)minh(1) ，即 h(x)的最小值为 . 5 2 5 2 当 n2 时，h(n)h(2)72ln 2
12、3(2ln 4)(2)3，即 h(n)3.22 所以 nN*，n2 时 f(n)g(n)h(n) 3 3 成立 n 2 n 2 典例3 (2019泰州模拟)已知函数 f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中 a 为常数) (1)如果函数 yf(x)和 yg(x)有相同的极值点，求 a 的值； (2)设 a0，问是否存在 x0，使得 f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数 a 的取值 (1， a 3) 范围；若不存在，请说明理由； (3)记函数 H(x)f(x)1g(x)1，若函数 yH(x)有 5 个不同的零点，求实数 a 的取 值范围 解(1)f(x)x(xa)2x32ax2a
13、2x， 则 f(x)3x24axa2(3xa)(xa)， 令 f(x)0，得 xa 或 x ，而 g(x)在 x处有极大值， a 3 a1 2 所以aa1，或 a3. a1 2 a1 2 a 3 综上 a3 或 a1. (2)假设存在 x，使得 (1， a 3) f(x)g(x)x(xa)2x2(a1)xa x(xa)2(xa)(x1) (xa)x2(1a)x10， 当 x时，又 a0，故 xa0，则存在 x，使得 x2(1a)x1 ，即 a3 时， 2(1a) 13 或 a3； a1 2 a 3 ( a 3) ( a 3) 3 2 2当1 ，即 0a3 时，0，得 a3，故 a 无解； a1
14、 2 a 3 4a12 4 综上 a 的取值范围为(3，) (3)据题意有 f(x)10 有 3 个不同的实根，g(x)10 有 2 个不同的实根，且这 5 个实 根两两不相等 g(x)10 有 2 个不同的实根，只需满足 g1a1 或 aa 即 a0 时，f(x)在 xa 处取得极大值，而 f(a)0，不符合题意，舍去； a 3 2当 a 即 a0 时，不符合题意，舍去； a 3 3当 0 时，f(x)在 x 处取得极大值， a 3 a 3 f1a，所以 a. ( a 3) 3 3 2 2 3 3 2 2 因为要同时满足，故 a. 3 3 2 2 (注：a 3 3 4也对) 下证：这 5 个
15、实根两两不相等， 即证：不存在 x0使得 f(x0)10 和 g(x0)10 同时成立 假设存在 x0使得 f(x0)g(x0)1， 由 f(x0)g(x0)， 即 x0(x0a)2x (a1)x0a， 2 0 得(x0a)(x ax0 x01)0. 2 0 当 x0a 时，f(x0)g(x0)0，不符合题意，舍去； 所以 x0a，即 x ax0 x010. 2 0 又 g(x0)1，即x (a1)x0a1. 2 0 联立式，可得 a0，而当 a0 时，不满足 a，故舍去，所以这 5 个实根两 3 3 2 2 两不相等 综上，当 a时，函数 yH(x)有 5 个不同的零点 3 3 2 2 本题
16、考查函数与导数的综合应用，利用导数研究函数的极值和最值，第一问是解方程； 第二问将不等式有解问题，转化成最值问题处理，但需要讨论，并不简单 ； 第三问思维要求 比较高，除了分解方程的根之外，最终关键点是证明这 5 个根是不同的 演练3 (2019盐城模拟)已知 f(x)为 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x2) (1)当 x0 时，求 f(x)的解析式； (2)当 mR 时，试比较 f(m1)与 f(3m)的大小； (3)求最小的整数 m(m2)， 使得存在实数 t， 对任意的 xm,10， 都有 f(xt)2ln|x3|. 解：(1)当 x|3m| (m1)2(3m)2m2. 所以当 m2 时，f(m1)f(3m) ； 当 m2 时，f(m1)f(3m)； 当 m2 时，f(m1)f(3m) (3)当 xR 时，f(x)ln(|x|2)，则由 f(xt)2ln|x3|，得 l
