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1、 概率论与数理统计 试卷 B 第 1 页 共 7 页诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试概率论与数理统计 试卷(B )注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上；3考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得 分评卷人可能用到的数表值： 14.2,73.1 9.0)3.2(,975.0)6.(,950)6(90)285(,43.0)1( .25. .5.56.,.318tttt一 （本大题 15 分）一个去掉大小王的扑克共 52 张牌，洗匀后从中随机
2、抽取 5 张牌。（1）求所抽的牌中含有方块 K 的概率。（2）求所抽的牌中含有红桃 K 或方块 K 的概率。（3）求所抽的牌中至少有一个“对子”(数码相同)的概率。解答：（1） （2）2 - （3）541/C5241/5230/C521453/)(C二 （本大题 12 分） 一个盒子中装有橙、白两色乒乓球共 33 个，其中橙球有 17 个。现运输途中不慎丢失了一个球。现安排甲从盒子中任抽两个球。（1）求甲抽出两个球都是白球的概率。（2）如果你现场看到甲随机抽到的两个球都是白球，试求丢失的那个球是白色的概率。解答：分别记 为事件甲抽出的是白球、乙抽出的两个都是白球。BA、（1） 61532173
3、24516376)|()|()(2215 CAPP（2）_姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线 概率论与数理统计 试卷 B 第 2 页 共 7 页31465321)(|)|(BPAA三 （本大题 12 分） 。某包装箱装有一种产品 100 件，其中一等品、二等品和三等品各有 70、20 和 10件。现从箱中随机抽取一件，引入随机变量，否 则 。， ，若 取 出 的 产 品 是 一 等 品0,1X否 则 。， 等 品 ，若 取 出 的 产 品 是 一 或 二0,1Y试求 的联合分布律，并求 。),(2Y),(C2Xov解答： 。同理，21故，或 10/)()0
4、,(,()0,(,(2 等 品抽 到 的 不 是 一 等 品 、 二PYPXP 10/2)1抽 到 的 是 二 等 品XY),(,(),1(,(2 /7)抽 到 的 是 一 等 品PYPXP2 0 10 0.1 0.21 0.0 0.707.9.70)()( )(,C2222YEXEov四 （本大题 12 分） 。设工厂生产的一种元件其寿命 （单位：小时）的密度函数为X.,0,0e)(10否 则xAxfx(1)求常数 ，以及该种元件的寿命介于 200 到 300 小时之间的概率。(2)若从该厂产品中任取 5 个这种元件，求其中至少有 4 个元件寿命超过 300 小时的概率。解答： 概率论与数理
5、统计 试卷 B 第 3 页 共 7 页(1) ，Axxf10de)(10.A3-230210ee)2(xXP(2) 303-10d)(x3453 431353035e)()e1( )e()e1()2 CCP小 时件 寿 命 超 过件 中 至 少 有五 （本大题 12 分） 。某制药厂宣称其新研制的一种药的有效率达到 80%。药监部门准备对此药临床试验，随机抽了 100 名患者以试用此药；若这 100 人中至少有 76 人用药有效，药监部门就批准此药的生产。如果该厂的这个新研药有效率确实是 80%，试用中心极限定理近似求此药能被批准生产的概率有多大。 （可用数表数据见试卷首页）解答：记 ，而 。
6、否 则 。个 患 者 用 药 有 效 ，第,01iXi niXS1由设知 独立同分布，i )80.,1(BXi于是， 2)(,8.)(iiDE8413.0)(11 )20.810762.08767600 SPSPi六 （2 学分，本大题 15 分） 。设随机向量 的密度函数为(,)XY其 他,0,1),( 2241yxyxyxf(1)求关于 和 的边缘密度函数 ， 。XY)(xfXyfY(2)求 和 。 与 是否不相关？是否独立？)(,)(DE,Cov解答： 概率论与数理统计 试卷 B 第 4 页 共 7 页(1) ， 1428124 1),(d)(xX xxyf。yY y0/527(2) 1
7、428097/571428 ,7021)5(80d)()(,)()(xxXDyYE。可见 与 不相关。0241,y YEXyCov XY由 知 与 不独立。),()(xffxYX七 （2 学分，本大题 12 分） 。设 X 服从参数为 的指数分布，其密度函数为 .0,)(xexf随机变量 ,求 的分布函数 在 上的表达式。.1,2)(XgYY)(yFY20解答： 时0yy-/2-y/1x-2/0x-ee1)()(d)20()()(, 1,1)1,()()()yY yXPXXPyF 概率论与数理统计 试卷 B 第 5 页 共 7 页八 （2 学分，本大题 10 分） 。游园晚会推出有奖游戏，道具
8、是一个套圈和标杆，参与者交替用左手和右手抛掷套圈，且第一次用左手抛掷。第 i 次若套中标杆则记 i 分、并奖励交替换手再套一次，若没套中则游戏结束。组织者计算参与者从开始参与到结束的累计总得分，按得分派出奖品。例如，参与者甲第一、二、三次套中，但第四次未中，则甲第四次抛掷后结束游戏，共抛掷四次、总得分是 1+2+3=6 分。若首次就未套中则得分为 0、并游戏结束。记参与者结束时总抛掷次数为 、所得的总分数为 。假定参与者左、右手抛掷套圈套中标杆的概率分别为 0.2XY和 0.5。（1）求 的分布律。 （2）求参与者平均得分 。EY解答：（1） ),21(.2,1.0,8 .5.0. ,1),(
9、8.)( 11mkkXPpmk（2）参与者平均得分2 1113()2()80.().6.().2(1)0.0mm mEYXX 121 1 0.10.2. .1322 .() 08|()|.9| |()0.18.0198 mmmmxx 概率论与数理统计 试卷 B 第 6 页 共 7 页六 （3、4 学分，本大题 15 分） 。设总体 X 有分布律： ，其中 ，求：123103（1） 的矩估计； （2） 的极大似然估计；（3）讨论上面两种方法所得估计量是否无偏。解：（1）因为 ，所以 的矩估计为：2(13)5EX125X（2）设容量为 n 的样本 的观察值中取-1 的有 r1 个，取 0 的有 r
10、2 个，12nX取 3 的有 r3 个， ，则似然函数为123r312()rrL23lnllnl(1)dr得驻点： ， 的极大似然估计为：31()rn32()rn（3） ， 的矩估计无偏；1E因为 是 n 个样本中出现 3 的个数，类似 Bernoulli 试验，由二项分布得r， ， 的极大似然估计无偏。3()p2E七 （3、4 学分，本大题 12 分） 。已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布。长期以来，其抗拉强度平均为52.00kg/mm2。现改变炼钢的配方，利用新法炼了 7 炉钢。从这 7 炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为52.45 48.51 56.02 51.53 49.
11、02 53.38 54.04问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值与旧法是否不同（=0.05）？并求新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率 1-的置信区间。解： （用 也可）01:52,:H01:52,:H0()/HXTtS拒绝域： （或 ）(6)1.943t/2|().45t 概率论与数理统计 试卷 B 第 7 页 共 7 页观察值： ， ，52.137x2.6954s0.132t不拒绝 ，即新配方炼钢生产的钢筋，其强度的均值与旧的没有明显提高。0H新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率 95%的置信区间： (6)/7XTtS/2/2, 49.63,5.1XtSnXtSn八 （3、4 学分，本大题 10 分） 。某款游戏中，一小孩每经过一扇“门” ，电脑会执行如下指令：以 1/3 的概率给出 3 个障碍，经过后到达终点；以 1/3 的概率给出 2 个障碍，经过后又是一扇 “门” ；以 1/3 的概率给出 1 个障碍，经过后也是一扇“门” 。求小孩到达终点平均要经过几个障碍？解：令 X=小孩到达终点要经过的障碍数， ，123/Y(|)|1(|2)(|)/3*/3*(1/3(2)EXYPEXYPEXPY6小孩到达终点平均要经过 6 个障碍
