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1、大一上学期高数期末考试大一上学期高数期末考试 一、单项选择题一、单项选择题 (本大题有本大题有 4 小题小题, 每小题每小题 4 分分, 共共 16 分分) 1. )(0),sin(cos)( xxxxxf . （A） (0)2 f （B） (0)1 f （C） (0)0 f （D） ( )f x 不可导不可导. 2. 133)( 1 1 )( 3 xxx x x x . （A） ( )( )xx与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ( )( )xx与 是等价无穷小；是等价无穷小； （C） ( )x 是比是比 ( )x 高阶的无穷小；高阶的无穷小； （D
2、） ( )x 是比是比 ( )x 高阶的 无穷小 高阶的 无穷小. 3.若若 ( )()( ) 0 2 x F xtx f t dt ， 其 中， 其 中 ( )f x 在 区 间 上在 区 间 上 ( 1,1) 二 阶 可 导 且二 阶 可 导 且 ( )0fx ，则（，则（ ）. （A）函数）函数 ( )F x 必在必在 0 x 处取得极大值；处取得极大值； （B）函数）函数 ( )F x 必在必在 0 x 处取得极小值；处取得极小值； （C）函数）函数 ( )F x 在在 0 x 处没有极值，但点处没有极值，但点(0, (0)F 为曲线为曲线 ( )yF x 的拐点；的拐点； （D） 函
3、数） 函数 ( )F x 在在 0 x 处没有极值， 点处没有极值， 点(0, (0)F 也不是曲线也不是曲线 ( )yF x 的拐点。的拐点。 4. )()(,)(2)()( 1 0 xfdttfxxfxf （A） 2 2 x （B） 2 2 2 x （C） 1x （D） 2x . 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 5. x x x sin 2 0 )31(lim . 6. ,)( cos xf x x x x x xfd cos )( . 7. lim(coscoscos) 222 21 n n nnnn . 8. 2
4、 1 2 1 2 2 1 1arcsin dx x xx . 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分） 9.设函数设函数 ( )yy x 由方程由方程 sin()1 xy exy 确定，求确定，求 ( ) y x 以及以及 (0) y . 10. .d )1( 1 7 7 x xx x 11. 1 32 )( 102 0 )(dxxf xxx xxe xf x 12.设函数设函数 )(xf 连续，连续， 1 0 ( )()g xf xt dt ，且，且 0 ( ) lim x f x A x，A为常数为常数. 求求 ( ) g x
5、 并讨论并讨论 ( ) g x 在在 0 x 处的连续性处的连续性. 13.求微分方程求微分方程 2lnxyyxx 满足满足 1 (1) 9 y 的解的解. 四、 解答题（本大题 10 分）四、 解答题（本大题 10 分） 14.已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线 )0()( xxyy ，过点，过点( , ) 01 ，且曲线上任一点，且曲线上任一点 M xy(,) 00处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、y轴、直线轴、直线x x 0所围成 面积的 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题 10
6、 分）五、解答题（本大题 10 分） 15.过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线 xyln 的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线 xyln 及及 x 轴围 成平面图形 轴围 成平面图形 D. (1)求求 D 的面积的面积 A；(2) 求求 D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分） 16.设 函 数设 函 数 )(xf 在在 0,1 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明
7、 对 任 意 的 , 0 1q ， 1 00 ( )( ) q f x d xqf x dx . 17.设函数设函数 )(xf 在在 , 0 上连续，且上连续，且 0)( 0 xdxf ， 0cos)( 0 dxxxf .证明：在证明：在 , 0 内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点21 , ， 使 ， 使 . 0 )()( 21 ff （提示：设（提示：设 x dxxfxF 0 )()( ） 解答解答 一、单项选择题一、单项选择题(本大题有本大题有 4 小题小题, 每小题每小题 4 分分, 共共 16 分分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有
8、4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 5. 6 e . 6. c x x 2 ) cos ( 2 1 .7. 2 . 8.3 . 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分） 9.解：方程两边求导解：方程两边求导 (1)cos()()0 xy eyxyxyy cos() ( ) cos() xy xy eyxy y x exxy 0,0 xy ， (0)1 y 10. 解：解： 76 7uxx dxdu 1(1)112 () 7(1)71 u dudu uuuu 1 (ln| 2ln|1|) 7 uuc 77
9、 12 ln|ln|1| 77 xxC 11. 解：解： 101 2 330 ( )2 x f x dxxedxxx dx 01 2 30 ()1(1) x xdexdx 00 2 3 2 cos(1sin ) xx xeedx 3 21 4 e 12. 解：由解：由 (0)0f ，知，知 (0)0g 。 1 0 0 ( ) ( )() x xt u f u du g xf xt dt x (0)x 0 2 ( )( ) ( )(0) x xf xf u du g xx x 0 2 00 ( ) ( )A (0)limlim 22 x xx f u du f x g xx 0 2 00 ( )
10、( ) lim( )lim 22 x xx xf xf u du AA g xA x ， ( ) g x 在在 0 x 处连续。处连续。 13. 解：解： 2 ln dy yx dxx 22 (ln) dxdx xx yeexdxC 2 11 ln 39 xxxCx 1 (1),0 9 yC ， 11 ln 39 yxxx 四、 解答题（本大题 10 分）四、 解答题（本大题 10 分） 14. 解：由已知且解：由已知且 0 2d x yyxy ， 将此方程关于将此方程关于x求导得求导得 yyy 2 特征方程：特征方程：02 2 rr解出特征根：解出特征根： . 2 , 1 21 rr 其通解
11、为其通解为 xx eCeCy 2 21 代入初始条件代入初始条件y y( )( )001 ，得，得3 1 , 3 2 21 CC 故所求曲线方程为：故所求曲线方程为： xx eey 2 3 1 3 2 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 10 分）分） 15. 解 ： （解 ： （ 1） 根 据 题 意 ， 先 设 切 点 为） 根 据 题 意 ， 先 设 切 点 为 )ln,( 00 xx ， 切 线 方 程 ：， 切 线 方 程 ： )( 1 ln 0 0 0 xx x xy 由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出 ex 0 ，从而切线方程为：，从而切线方程为： x e y 1 则平面
12、图形面积则平面图形面积 1 0 1 2 1 )(edyeyeA y （2）三角形绕直线）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为 V1，则，则 2 1 3 1 eV 曲线曲线 xyln 与与 x 轴及直线轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积 为 一周所得旋转体体积 为 V2 1 0 2 2 )(dyeeV y D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 )3125( 6 2 21 eeVVV 六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分
13、，共 12 分）分） 16. 证明：证明： 1 00 ( )( ) q f x d xqf x dx 1 00 ( )( )( ) qq q f x d xqf x d xf x dx 1 0 (1)( )( ) q q qf x d xqf x dx 1212 0, ,1()() 12 (1) ()(1) ()0 qqff qq fqq f 故有：故有： 1 00 ( )( ) q f x d xqf x dx 证毕。证毕。 17. 证 ： 构造辅助函数 ：证 ： 构造辅助函数 ： xdttfxF x 0,)()( 0。 其满足在。 其满足在 , 0 上连续， 在上连续， 在 ) , 0 (
14、 上可导。上可导。 )()(xfxF ，且，且 0)()0( FF 由题设，有由题设，有 00 0 0 )(sincos)()(coscos)(0 | dxxFxxxFxxdFxdxxf ， 有有 0 0sin)(xdxxF ，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在 ) , 0 ( ，使，使 0sin)( F 即即 0)( F 综上可知综上可知 ), 0( , 0 )()()0( FFF .在区间在区间 , , , 0 上分别应用罗 尔定理，知存在 上分别应用罗 尔定理，知存在 ) , 0 ( 1 和和 ),( 2 ， 使， 使 0)( 1 F 及及 0)( 2 F ， 即， 即 0)()( 21 ff .
