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1、2.3.3 空间向量运算的坐标表示,1空间向量的基本定理：,2平面向量的坐标表示及运算律：,一复习回顾,若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使,1空间直角坐标系：,（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1， 这个基底叫单位正交基底,(2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴 ，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面， 分别称为 平面， 平面， 平面；,一复习回顾,（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指
2、指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.,（3）作空间直角坐标系 时，一般使,2空间直角坐标系中的坐标：,如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 ，使 ， 有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标， 记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标,一、向量的直角坐标运算,新课,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
3、,二、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时，同向； （2）当 时，反向； （3）当 时，。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,例1已知,解:,三、应用举例,三、应用举例,例2已知、，求： （1）线段的中点坐标和长度；,解：设是的中点，则,点的坐标是.,（2）到两点距离相等的点的 坐标满足的条件。,解：点到的距离相等，则,化简整理，得,即到两点距离相等的点的坐标满 足的条件是,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系，则,例3如图, 在正方体中， ，求与所成的角的余弦值.,练习 3 已知 垂直于正方形 所
4、在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,练习4：如图，已知线段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。,练习5：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=BAA1=DAA1=60，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。 （1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。,10,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,四、课堂小结,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,
