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1、 二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函 2 yaxbxcabc， ， 0a 数，叫做二次函数。 这里需要强调：a 0 最高次数为 2 代数式一定是整式这里需要强调：a 0 最高次数为 2 代数式一定是整式 2. 二次函数的结构特征： 2 yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2 xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项 abc， ， abc 例题： 例 1、已知函数 y=(m1)xm2 +1+5x3 是二次函数，求 m 的值。 练习、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于
2、 x 的二次函数，则 m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： 2 yax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质： 2 yaxc 上加下减。 3. 的性质： 2 ya xh 左加右减。 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 00，轴y 时，随 的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最yx0 x y 小值 0 0a 向下 00，轴y 时，随 的增大而减小；时，0 x yx0 x 随 的增大而增大；时，有最yx0 x y 大值 0 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c，
3、轴y 时，随 的增大而增大；时，0 x yx0 x 随 的增大而减小；时，有最yx0 x y 小值 c 0a 向下 0c，轴y 时，随 的增大而减小；时，0 x yx0 x 随 的增大而增大；时，有最yx0 x y 大值 c 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h， X=h 时，随 的增大而增大；时，xhyxxh 4. 的性质： 2 ya xhk 二次函数的对称轴、顶点、最值二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式 y=a(xh)2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c 则最值为） 4ac - b2 4a 1抛物线 y=2x2+
4、4x+m2m 经过坐标原点，则 m 的值为 。 2抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3） ，则 b ，c . 3抛物线 yx23x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4若抛物线 yax26x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 ( ) A. B. C. D.13101514 随 的增大而减小；时，有最yxxhy 小值 0 0a 向下 0h，X=h 时，随 的增大而减小；时，xhyxxh 随 的增大而增大；时，有最yxxhy 大值 0 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk，X=h 时，随 的增大而增大；
5、时，xhyxxh 随 的增大而减小；时，有最yxxhy 小值 k 0a 向下 hk，X=h 时，随 的增大而减小；时，xhyxxh 随 的增大而增大；时，有最yxxhy 大值 k 5若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax2bxc( ) A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴 C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴 6已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m 。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标 2 ya xhk ；hk， 保持抛物线的形状
6、不变，将其顶点平移到处，具体平移方法 2 yaxhk， 如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” hk 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 （或）mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 （或）cmxbmxay)()( 2 cmxbmxay)()( 2 函数函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质例题：的图象和性质例题： 1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是 。 2 抛 物 线 y=2x2
7、12x+25 的 开 口 方 向 是 ， 顶 点 坐 标 是 。 3通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y= x22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y= x2+x4 1 2 1 4 4、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得 图象的解析式是 y=x23x+5，试求 b、c 的值。 5、 把抛物线 y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位， 再向上平移 3 个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 四、二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式
8、上看，与是两种不同的表达形式，后者 2 ya xhk 2 yaxbxc 通过配方可以得到前者，即，其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 2 ()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描 点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关y0c，0c， 于对称轴对称的点、与 轴的交点，（若与 轴没有交2hc，x 1 0 x ， 2 0 x ，x 点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下
9、几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与xy 轴的交点. 六、二次函数的性质 2 yaxbxc 1. 当时， 抛物线开口向上， 对称轴为， 顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大；当 2 b x a yx 2 b x a yx 时，有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2. 当时， 抛物线开口向下， 对称轴为， 顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小；当 2 b x a yx 2 b x a yx 时，有最大值 2 b x a
10、 y 2 4 4 acb a 例题：函数 y=a(xh)例题：函数 y=a(xh)2 2的图象与性质的图象与性质 1填表： 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 223xy 23 2 1 xy 2试说明函数 y= (x3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增 1 2 减性、最值） 。 3二次函数 y=a(xh)2的图象如图：已知 a = ，OAOC，试求该抛物线的解 1 2 析式。 二次函数的增减性二次函数的增减性 1.二次函数 y=3x26x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ； 当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时，y 随 x 的增大而减少；则 x1 时,y
11、的值为 。 3.3.已知二次函数 y=x2(m+1)x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取 值范围是 . 4.已知二次函数 y= x2+3x+ 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 1 2 5 2 3x1x20,b0,c0B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0Bb -2a Ca-b+c 0Dc0； a+b+c 0a-b+c 0 b2-4ac0 abc 0 ；其中正确的为 （ ） ABCD 4.当 bbc，且 abc0，则它的图象可能 是图所示的( ) 6二次函数 yax2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b24ac
12、， 2ab， abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 1 x A y O 1 x B y O1x C y O 1x D y O 7.在同一坐标系中，函数 y= ax2+c 与 y= (a 0 时， y 随 x 的增大而增大， 则二次函数 ykx2+2kx k x 的图象大致为图中的（ ） A B C D 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一 般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知
13、抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 例题：函数解析式的求法例题：函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax2 2+bx+c，然后解三 元方程组求解； +bx+c，然后解三 元方程组求解； 1已知二次函数的图象经过 A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二 次函数的解析式。 2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二
14、次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点 时，通常设解析式为顶点式 y=a(xh) 已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点 时，通常设解析式为顶点式 y=a(xh)2 2+k 求解+k 求解。 3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二 次函数的解析式。 4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二 次函数的解析式。 三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xx已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xx1 1)(x
15、 x )(x x2 2) )。 5二次函数的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值8，求该二次 函数的解析式。 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称x 关于 轴对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxcx 2 yaxbxc 关于 轴对称后，得到的解析式是； 2 ya xhkx 2 ya xhk 2. 关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxcy 2 yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 ya xhky 2 ya xhk 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是； 2 ya xhk 2 ya xhk 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 关于顶点对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5. 关于点对称 mn， 关 于 点对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是 2 ya xhkmn， 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发
