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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 数论综合配套练习题 一、解答题一、解答题 1、有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是多少？ 2、一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的 余数， 则这个自然数是多少？ 3、 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛， 狐狸每次跳 4.5 米， 黄鼠狼每次跳 2.75 米， 它们每秒钟都只跳一次。 比赛途中，从起点开始每隔 12.375 米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多 少米？ 4、有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两
2、位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数求这两个整数分别是多少？ 5、 少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡， 这些灯泡或明或暗， 十分有趣。 这 200 个灯泡按 1 到 200 编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为 3 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第四秒，凡编号为 4 的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 第五秒，凡编号为 5 的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 一般地，第 n 秒，凡编号为 n 的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态； 那
3、么第 200 秒时，明亮的灯泡有多少个？ 6、19811101 是个 15 进制数，这个数是否是 7 的倍数呢？ 7、一个三位数的百位和十位相同，减去其各位数字之和后是其各位数字之积的两倍，求所有这样的 三位数。 8、有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的 前 2012 个数中，有几个是 5 的倍数？ 9、1，2，3，4，5，6 各一个是否可以组成两个三位数，使得它们的和是 7 的倍数？ 如果可以，请构造；如果不可以请说明理由。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 2 页 10、已知 n 是正整数，规定 n！12n，令 m1！12！22012
4、！2012， 则整数 m 除以 2013 的余数是多少？ 答案部分答案部分 一、解答题一、解答题 1、 【正确答案】：29 【答案解析】：（70110160）50290 503162 除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数， 只可能是 29 和 58， 11058152 5250 所以除数不是 58 7029212 11029323 16029515 12231550 所以除数是 29。 【答疑编号 10256300】 2、 【正确答案】：17 【答案解析】 ： 这个自然数去除 90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90164254 后所得的余数， 所以254和
5、220除以这个自然数后所得的余数相同， 因此这个自然数是2542203 4 的约数，又大于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件 ； 如果这个数是 17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件。 所以这个自然数是 17 【答疑编号 10256301】 3、 【正确答案】：40.5 米 【答案解析】：黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2.75 与 12.375 的“最小公倍数”是 24.75， 即跳了 24.752.759 次掉进陷井。 狐
6、狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4.5 和 12.375 的“最小公倍数”49.5， 即跳了 49.54.511 次掉进陷井. 经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是 4.5940.5(米). 【答疑编号 10256302】 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 4、 【正确答案】：74 和 3 或者 37 和 18 【答案解析】：两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个， 它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 3313223133016 17，共有 16 种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个
7、数的乘积是三个数字相同的三 位数， 显然太繁琐了 可以从乘积入手， 因为三个数字相同的三位数有 111、 222、 333、 444、 555、 666、 777、888、999，每个数都是 111 的倍数，而 111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一 个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是 37 或 37 的倍数，但只能是 37 的 2 倍，因为 37 的 3 倍就不是两位数了 把九个三位数分解： 111373 222376743 333379 4443712746 5553715 6663718749 7773721 88837247412 9993727 把两个因数相加，只有
8、（743）77 和（3718）55 的两位数字相同， 所以满足题意的答案是 74 和 3，37 和 18 【答疑编号 10256303】 5、 【正确答案】：14 【答案解析】：对于一个灯最后是亮还是暗就要看这个灯的编号有多少个因数。 如果编号有奇数个因数，那么最后这个灯是亮的； 如果编号有偶数个因数，那么就是暗的。 因为平方数有奇数个因数，所以最后亮的灯都是平方数， 有 1、4、9、16、 200 以内的平方数共有 14 个。因此第 200 秒时，明亮的灯泡有 14 个。 【答疑编号 10256304】 6、 【正确答案】：不是 【答案解析】：（19811101）15115791568155
9、1154115311521 因为 15 除以 7 余 1，15 的 n 次方除以 7 也是余 1， 所以这个数除以 7 的余数为 198111122 22 不是 7 的倍数，因此原数不是 7 的倍数。 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 4 页 【答疑编号 10256305】 7、 【正确答案】：996 或者 669 【答案解析】： 【答疑编号 10256306】 8、 【正确答案】：402 个 【答案解析】：由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数 所以这串数除以 5 的余数分别为 ： 1， 1， 2， 3， 0， 3， 3， 1， 4， 0，
10、 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4， 1， 0， 1， 1， 2， 3， 0， 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数 由于 201254022，所以前 2012 个数中，有 402 个是 5 的倍数 【答疑编号 10256307】 9、 【正确答案】：可以 【答案解析】：考虑 14，56，203 都是 7 的倍数，所以 214563 为 7 的倍数，当然还有很多其他 的组合。 【答疑编号 10256308】 10、 【正确答案】：2012 【答案解析】：1！12 余数是 1 （1！12！2）3 余数是 2 （1！12！23！3）4 余数是 3 （1！12！23！34！4）5 余数是 4 （1！12！23！34！45！5）6 余数是 5 （1！12！22012！2012）2013 余数是 2012。 【答疑编号 10256309】
