数值分析论文（9月11日）.pptx

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1、学 海 无 涯,数值分析论文,几种插值法的应用与比较 摘要：本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插 值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点，通过对数学插 值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势， 以方便用户选择合适的插值法。 关键词：拉格朗日插值，重心拉格朗日插值，分段线性插值 正文：在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些 关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所 以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于 解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦，这就

2、需要建立函数的某种近似表达， 而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插 值函数，称为多项式插值多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米 特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分 段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式。 拉格朗日插值法中，在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学 家约瑟夫路易斯拉格朗日命名的一种多项式插值方法，许多实际问题中都用 函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解，如 对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到，相应的

3、观测值，拉 格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这 样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式，数学上来说，拉格朗日插值法可以给 出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数，拉格朗日插值法最早被 英国数学家爱德华.华林于 1779 年发现，不久后由莱昂哈德欧拉再次发现 1795 年，拉格朗日在其著作师范学校数学基础教程中发表了这个插值方法，从此 他的名字就和这个方法联系在一起。 拉格朗日插值多项式图为：,1,学 海 无 涯 图（1） 已知平面上四个点：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多 项式：L(x)（黑色）穿过所有点.而每

4、个基本多项式：y0l0 (x) , y1l1 (x) , y2l2 (x) 以 及 y l (x) 各穿过对应的一点，并在其它的三个点的 x 值上取零。 对于给定的若n 1个点(x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) , (xn , yn ) ，对应于它们的次数不超 过n 的拉格朗日多项式 L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个， 因为所有与 L 相差(x x0 )(x x1 ) (x xn ) 的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的k 1个取值点： (x0 , y0 ) , (xk , yk ) , 其中 xi 对应着自变量的位置，而 yi 对应着函数在这个位

5、置的取值。假设任意两个 不同的 xi 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式,k,为： L(x) y j l j (x) ， j 0,其中每个lj (x) 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：,k,j,x xi(x x0 )(x xk ),l (x) ,(x x j1 ) (x x j1 ),i0,i jjij0jj1jj1jk,x x (x x ) (x x) (x x) (x x ) ，,0,2,(4 5)(4 6),拉格朗日基本多项式li x的特点是在 x j 上取值为 1，在其它的点 xi ， i j 上取 值为 0. 例：假设有某个多项式函数

6、f ，已知它在三个点上的取值为： f (4) 10 ， f (5) 5.25， f (6) 1， 要求 f (18) 的值. 首先写出每个拉格朗日基本多项式： l x (x 5)(x 6) ；,学 海 无 涯,1,(5 4)(5 6),l x (x 4)(x 6) ；,2,(6 4)(6 5),l x (x 4)(x 5) ；,然后应用拉格朗日插值法，就可以得到 p 的表达式（ p 为函数 f 的插值函数）： p(x) f (4)l0 (x) f (5)l1 (x) f (6)l2 (x) 10 (x 5)(x 6) 5.25 (x 4)(x 6) 1 (x 4)(x 5) (4 5)(4 6

7、)(5 4)(5 6)(6 4)(6 5) 1 (x2 28x 136) ， 4 此时数值18 就可以求出所需之值： f (18) p(18) 11. 插值多项式的存在性与唯一性： 存在性：对于给定的k 1个点：(x0 , y0 ),(xk , yk ) 拉格朗日插值法的思路是 找到一个在一点 x j 取值为1，而在其他点取值都是0 的多项式lj (x).这样，多项,k,式 y jl j (x) 在点 x j 取值为 y j ，而在其他点取值都是0 .而多项式 Lx y j l j (x) j 0,k,就可以满足 L(x) yil j (x) 0 0 y j 0 y j ， i0,j,3,l,

8、x j xi(x j x0 )(x j x j 1 ) (x j x j1 )(x j xk ),在其它点取值为0 的多项式容易找到，例如： (x x0 )(x x j 1 )(x x j 1 )(x xk ) ，它在点 x j 取值为： (xi x0 )(xj x j 1 )(xj xk ) .由于已经假定 xi 两两互不相同，因此上面的取 值不等于0 .于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在 x j 取值为1，而 在其他点取值都是0 的多项式”： x x (x x0 ) (x x j 1 ) (x x j1 ) (x xk ) ，,这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性：次数不超过k

9、的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不 超过k 的拉格朗日多项式： p1 和 p2 ，它们的差 p1 p2 在所有k 1个点上取值都,4,学 海 无 涯 是 0 , 因此必然是多项式(x x0 )(x x1 )(x xk ) 的倍数. 因此， 如果这个差 p1 p2 不等于0 ，次数就一定不小于k 1.但是 p1 p2 是两个次数不超过k 的多 项式之差，它的次数也不超过k ，所以 p1 p2 0 也就是说 p1 p2 .这样就证明 了唯一性. 几何性质：拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式l0 , l1 , ln （由某一组 x0 x1 xn 确定）可以看做是由次数不超过n

10、的多项式所组成的线性空间： n X 的一组基底.首先，如果存在一组系数： 0 , 1 , n 使得， P 0l0 1l1 nln 0 ， 那么，一方面多项式 p 是满足 P(x0 ) 0 , P(x1 ) 1 , P(xn ) n 的拉格朗 日插值多项式，另一方面 p 是零多项式，所以取值永远是0 .所以 0 1 n 0 ， 这证明了l0 , l1 , ln 是线性无关的.同时它一共包含 n 1 个多项式，恰好等于 n X 的维数.所以l0 , l1 , ln 构成了 n X 的一组基底. 拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项 式）. 优点与缺点：拉格朗日插

11、值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然 而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新 计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛 顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可 能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定 的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为 龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式. 重心拉格朗日插值法：重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉 格朗日插值法中，运用多项式： l(x) (x x0 )(x x1

12、)(x xk ) ，,学 海 无 涯,图（2） 拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插 值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的 14 至 15 中间） 可以将拉格朗日基本多项式重新写为：,k,ji,j,j,x x,i0,i j,(x x ),l(x)1,l (x) ,，,定义重心权,k,ji,j,i0,i j,(x x ),1, ,，,j, j,上面的表达式可以简化为： l j (x) l(x) x x ，,j,5,k,x x,j0j,于是拉格朗日插值多项式变为： L(x) l(x), j,y ， （1）,即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进

13、拉格朗日插值公式.它的优点 是当插值点的个数增加一个时，将每个 j 都除以(xj xk 1 ) ，就可以得到新的重 心权k 1 ，计算复杂度为(n) ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度 (n 2 ) 降了一个量级. 将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数 g(x) 1插值，可以得到：,学 海 无 涯,k,j,x x, j0,x, g(x) l(x), j,，,因为 g(x) 1是一个多项式. 因此，将 L(x) 除以 g(x) 后可得到：,k,j,k,j 0 x x j,L(x) , j,， （2）,j 0 x x j 这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公

14、 式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入 x 值计算 L(x) 的时候不必计算 多项式l(x) 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模 拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格 朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗 日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很 小. 分段线性插值：对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.,1,1 x2,问题的重述：已知 g(x) , 6 x 6 用分段线性插值法求插值，绘出插值,结果图形，并观察插值误差. 在-6，6中平均选取 5 个点作插值

15、； 在-6，6中平均选取 11 个点作插值； 在-6，6中平均选取 21 个点作插值； 在-6，6中平均选取 41 个点作插值. 问题的分析：在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以 外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样,1,6,1 x2,点和原函数 g(x) .分析问题求解方法如下：（1）利用已知函数式 g(x) ,计,算取样点 X 对应的函数值Y ；将 X ,Y 作为两个等长的已知向量，分别描述采样 点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插 值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用 3 次

16、多项式 插值），3 次样条插值法和分段线性插值；（2）分别利用以上插值方法求插值. 以 0.5 个单位为步长划分区间-6，6，并将每一点作为插值函数的取样点.再根 据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图 象，并与原函数 g(x) 的图象进行对比.,学 海 无 涯 问题的假设：为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1） 假设原函数 g(x) 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的 函数值都是未知量，叙用插值函数计算；（2）为了得到理想的对比函数图象， 假设 g(x) 为已知的标准函数.可以选取 0.5 个单位为步长划分区间-6，6，分 别计算插值函数和标准函数 g(x) 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进 行对比. 分段线性插值原理：给定区间a, b, 将其分割成a x0 x1 xn b ，已知 函数 y f (x) 在这些插值结点的函数值为 yk f (xk )(k 0,1,n) ；求一个分段函 数 Ik (x)