数值分析论文(9月11日).pptx

上传人:摩西的****12 文档编号:144777970 上传时间:2020-09-14 格式:PPTX 页数:11 大小:134.40KB
返回 下载 相关 举报
数值分析论文(9月11日).pptx_第1页
第1页 / 共11页
数值分析论文(9月11日).pptx_第2页
第2页 / 共11页
数值分析论文(9月11日).pptx_第3页
第3页 / 共11页
数值分析论文(9月11日).pptx_第4页
第4页 / 共11页
数值分析论文(9月11日).pptx_第5页
第5页 / 共11页
点击查看更多>>
资源描述

《数值分析论文(9月11日).pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析论文(9月11日).pptx(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。

1、学 海 无 涯,数值分析论文,几种插值法的应用与比较 摘要:本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较,针对每个插 值法,经过详细的论证和讨论,给出了每个插值法的优点和缺点,通过对数学插 值法的研究、比较及应用的讨论及总结,从而得出所讨论插值方法的各自优势, 以方便用户选择合适的插值法。 关键词:拉格朗日插值,重心拉格朗日插值,分段线性插值 正文:在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数关系,但是这些 关系的显示表达式不一定都知道,通常只是由观察或测试得到一些离散数值,所 以只能从这些数据构造函数的近似表达式,有时虽然给出了解析表达式,但由于 解析表达式过于复杂,计算起来十分麻烦,这就

2、需要建立函数的某种近似表达, 而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数,所以经常采用多项式作为插 值函数,称为多项式插值多项式插值法有拉格朗日插值法,牛顿插值法、埃尔米 特插值法,分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分 段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式。 拉格朗日插值法中,在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学 家约瑟夫路易斯拉格朗日命名的一种多项式插值方法,许多实际问题中都用 函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解,如 对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到,相应的

3、观测值,拉 格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这 样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式,数学上来说,拉格朗日插值法可以给 出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数,拉格朗日插值法最早被 英国数学家爱德华.华林于 1779 年发现,不久后由莱昂哈德欧拉再次发现 1795 年,拉格朗日在其著作师范学校数学基础教程中发表了这个插值方法,从此 他的名字就和这个方法联系在一起。 拉格朗日插值多项式图为:,1,学 海 无 涯 图(1) 已知平面上四个点:(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9),拉格朗日多 项式:L(x)(黑色)穿过所有点.而每

4、个基本多项式:y0l0 (x) , y1l1 (x) , y2l2 (x) 以 及 y l (x) 各穿过对应的一点,并在其它的三个点的 x 值上取零。 对于给定的若n 1个点(x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) , (xn , yn ) ,对应于它们的次数不超 过n 的拉格朗日多项式 L 只有一个.如果计入次数更高的多项式,则有无穷个, 因为所有与 L 相差(x x0 )(x x1 ) (x xn ) 的多项式都满足条件. 对某个多项式函数,已知有给定的k 1个取值点: (x0 , y0 ) , (xk , yk ) , 其中 xi 对应着自变量的位置,而 yi 对应着函数在这个位

5、置的取值。假设任意两个 不同的 xi 都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式,k,为: L(x) y j l j (x) , j 0,其中每个lj (x) 为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:,k,j,x xi(x x0 )(x xk ),l (x) ,(x x j1 ) (x x j1 ),i0,i jjij0jj1jj1jk,x x (x x ) (x x) (x x) (x x ) ,,0,2,(4 5)(4 6),拉格朗日基本多项式li x的特点是在 x j 上取值为 1,在其它的点 xi , i j 上取 值为 0. 例:假设有某个多项式函数

6、f ,已知它在三个点上的取值为: f (4) 10 , f (5) 5.25, f (6) 1, 要求 f (18) 的值. 首先写出每个拉格朗日基本多项式: l x (x 5)(x 6) ;,学 海 无 涯,1,(5 4)(5 6),l x (x 4)(x 6) ;,2,(6 4)(6 5),l x (x 4)(x 5) ;,然后应用拉格朗日插值法,就可以得到 p 的表达式( p 为函数 f 的插值函数): p(x) f (4)l0 (x) f (5)l1 (x) f (6)l2 (x) 10 (x 5)(x 6) 5.25 (x 4)(x 6) 1 (x 4)(x 5) (4 5)(4 6

7、)(5 4)(5 6)(6 4)(6 5) 1 (x2 28x 136) , 4 此时数值18 就可以求出所需之值: f (18) p(18) 11. 插值多项式的存在性与唯一性: 存在性:对于给定的k 1个点:(x0 , y0 ),(xk , yk ) 拉格朗日插值法的思路是 找到一个在一点 x j 取值为1,而在其他点取值都是0 的多项式lj (x).这样,多项,k,式 y jl j (x) 在点 x j 取值为 y j ,而在其他点取值都是0 .而多项式 Lx y j l j (x) j 0,k,就可以满足 L(x) yil j (x) 0 0 y j 0 y j , i0,j,3,l,

8、x j xi(x j x0 )(x j x j 1 ) (x j x j1 )(x j xk ),在其它点取值为0 的多项式容易找到,例如: (x x0 )(x x j 1 )(x x j 1 )(x xk ) ,它在点 x j 取值为: (xi x0 )(xj x j 1 )(xj xk ) .由于已经假定 xi 两两互不相同,因此上面的取 值不等于0 .于是,将多项式除以这个取值,就得到一个满足“在 x j 取值为1,而 在其他点取值都是0 的多项式”: x x (x x0 ) (x x j 1 ) (x x j1 ) (x xk ) ,,这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性:次数不超过k

9、的拉格朗日多项式至多只有一个,因为对任意两个次数不 超过k 的拉格朗日多项式: p1 和 p2 ,它们的差 p1 p2 在所有k 1个点上取值都,4,学 海 无 涯 是 0 , 因此必然是多项式(x x0 )(x x1 )(x xk ) 的倍数. 因此, 如果这个差 p1 p2 不等于0 ,次数就一定不小于k 1.但是 p1 p2 是两个次数不超过k 的多 项式之差,它的次数也不超过k ,所以 p1 p2 0 也就是说 p1 p2 .这样就证明 了唯一性. 几何性质:拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式l0 , l1 , ln (由某一组 x0 x1 xn 确定)可以看做是由次数不超过n

10、的多项式所组成的线性空间: n X 的一组基底.首先,如果存在一组系数: 0 , 1 , n 使得, P 0l0 1l1 nln 0 , 那么,一方面多项式 p 是满足 P(x0 ) 0 , P(x1 ) 1 , P(xn ) n 的拉格朗 日插值多项式,另一方面 p 是零多项式,所以取值永远是0 .所以 0 1 n 0 , 这证明了l0 , l1 , ln 是线性无关的.同时它一共包含 n 1 个多项式,恰好等于 n X 的维数.所以l0 , l1 , ln 构成了 n X 的一组基底. 拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是n 次多项 式). 优点与缺点:拉格朗日插

11、值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然 而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新 计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛 顿插值法来代替.此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可 能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定 的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为 龙格现象,解决的办法是分段用较低次数的插值多项式. 重心拉格朗日插值法:重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉 格朗日插值法中,运用多项式: l(x) (x x0 )(x x1

12、)(x xk ) ,,学 海 无 涯,图(2) 拉格朗日插值法的数值稳定性:如图(2),用于模拟一个十分平稳的函数时,插 值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差(图中的 14 至 15 中间) 可以将拉格朗日基本多项式重新写为:,k,ji,j,j,x x,i0,i j,(x x ),l(x)1,l (x) ,,,定义重心权,k,ji,j,i0,i j,(x x ),1, ,,,j, j,上面的表达式可以简化为: l j (x) l(x) x x ,,j,5,k,x x,j0j,于是拉格朗日插值多项式变为: L(x) l(x), j,y , (1),即所谓的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改进

13、拉格朗日插值公式.它的优点 是当插值点的个数增加一个时,将每个 j 都除以(xj xk 1 ) ,就可以得到新的重 心权k 1 ,计算复杂度为(n) ,比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度 (n 2 ) 降了一个量级. 将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数 g(x) 1插值,可以得到:,学 海 无 涯,k,j,x x, j0,x, g(x) l(x), j,,,因为 g(x) 1是一个多项式. 因此,将 L(x) 除以 g(x) 后可得到:,k,j,k,j 0 x x j,L(x) , j,, (2),j 0 x x j 这个公式被称为重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公

14、 式.它继承了(1)式容易计算的特点,并且在代入 x 值计算 L(x) 的时候不必计算 多项式l(x) 它的另一个优点是,结合切比雪夫节点进行插值的话,可以很好地模 拟给定的函数,使得插值点个数趋于无穷时,最大偏差趋于零.同时,重心拉格 朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗 日插值是向后稳定的,而第二型拉格朗日插值是向前稳定的,并且勒贝格常数很 小. 分段线性插值:对于分段线性插值,我们看一下下面的情况.,1,1 x2,问题的重述:已知 g(x) , 6 x 6 用分段线性插值法求插值,绘出插值,结果图形,并观察插值误差. 在-6,6中平均选取 5 个点作插值

15、; 在-6,6中平均选取 11 个点作插值; 在-6,6中平均选取 21 个点作插值; 在-6,6中平均选取 41 个点作插值. 问题的分析:在数值计算中,已知数据通常是离散的,如果要得到这些离散点以 外的其他点的函数值,就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样,1,6,1 x2,点和原函数 g(x) .分析问题求解方法如下:(1)利用已知函数式 g(x) ,计,算取样点 X 对应的函数值Y ;将 X ,Y 作为两个等长的已知向量,分别描述采样 点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数,可利用一维插值处理该数据插 值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值(本题采用 3 次

16、多项式 插值),3 次样条插值法和分段线性插值;(2)分别利用以上插值方法求插值. 以 0.5 个单位为步长划分区间-6,6,并将每一点作为插值函数的取样点.再根 据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图 象,并与原函数 g(x) 的图象进行对比.,学 海 无 涯 问题的假设:为了解决上述分析所提到的问题,本题可以作出如下假设:(1) 假设原函数 g(x) 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的 函数值都是未知量,叙用插值函数计算;(2)为了得到理想的对比函数图象, 假设 g(x) 为已知的标准函数.可以选取 0.5 个单位为步长划分区间-6,6,分 别计算插值函数和标准函数 g(x) 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进 行对比. 分段线性插值原理:给定区间a, b, 将其分割成a x0 x1 xn b ,已知 函数 y f (x) 在这些插值结点的函数值为 yk f (xk )(k 0,1,n) ;求一个分段函 数 Ik (x)

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 高等教育 > 其它相关文档

电脑版 |金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号