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1、,(Method of Green Function),Introduction,第十二章 格林函数法,行波法,无界空间波动问题，有局限性,分离变量法,格林函数法,直接求特解，各种定解问题， 解一个含有格林函数的有限积分,各种定解问题（有界），其解为无穷级数,格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念,格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一,乔治格林 ( George Green ,1793 1841) 英国的数学物理学家。,格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场,知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场,12.1 泊松方程的格
2、林函数法,一、解方程的基本思路,1、泊松方程的求解问题，能否化为简单方程求解?,2、实际物体的场能否用点源场的叠加表示出来？,3、点源的场满足的方程是否为易于求解的方程？,4、物体的形状毕竟影响场的情况，物体的表面在求解场的函数中一定有所体现?,单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量,单位时间内V内各源头产生的流体的总量,上具有连续一阶导数,在区域,及其边界,和,而在 中具有连续二阶导数，,二、数学上的格林公式,应用矢量分析的高斯定理,同理有,第一格林公式,第一格林公式,上述两式相减得到,第二格林公式,第一格林公式,表示沿边界 的外方向求导数,三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示解出积分公式
3、,讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题,(1) 泊松方程,边界条件,是区域边界 上,1. 泊松方程的求解：,给定的函数,对应第一类边界条件,对应第二类边界条件,对应第三类边界条件,（2）点源函数满足的场方程：,为位于点 ，电量为-0的点电荷在点 产生的场,（电势）,（3）泊松方程解的积分公式：,泊松方程的解，物体的场,特殊方程的解，点源的场,在去掉含有点源的体积 中积分有：,0,(1)(2)式,应用第二类格林公式将左边的体积分化为面积分,(3)上式右端,(3)上式左端第二项面积分,(3)式改写为：,泊松方程解的基本积分展式,需要知道 u 以及u/n 在上的表示。而实际问题中，只能知道它们两
4、者之一。因此，还不能利用上式解决三类边值问题。,怎样解决？让Green函数受边界条件的影响,四 泊松方程解的简化：,具有实际意义的解,令格林函数满足一定的边界条件,相应的格林函数 是下列问题的解：,(1) 满足第一类齐次边界条件：,(2) 满足第二类齐次边界条件：,相应的格林函数 是下列问题的解：,(3) 满足第三类齐次边界条件：,相应的格林函数 是下列问题的解：,方程(2)两边同乘G，,方程(4)两边同乘u，,然后相减得,典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题,引入：为了求解定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数,它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：,小 结,
5、在物体内部（T内）r0处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题的解格林函数由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数。,解的基本思想：引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题。一般后者的解容易求得,格林函数的物理意义：,格林函数互易定理：,因为格林函数 代表 处的脉冲（或点源）在 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离 的函数，故它应该遵守如下的互易定理：,利用格林函数的互易性，可得到泊松方程的解,利用格林函数的互易性，可得到第一类边值问题的解,利用
6、格林函数的互易性，可得到第三类边值问题的解,对于泊松方程,第一边值问题的解为,第三边值问题的解为,对于拉普拉斯方程,12.2 用电像法求格林函数,无界区域的格林函数,1 一般边值问题的格林函数G的处理：,将一般边值问题的格林函数G分成两部分：,使满足,这样可以使G1带有G的边值条件，而G0不具有边界条件，成为无界问题,无界区域的格林函数成为相应方程的基本解,2 无界区域格林函数的解基本解,对于点电荷知，-0的点电荷在无界空间的电势为：,所以，可以给出无界空间格林函数,在二维极坐标系下，可以给出,下面具体推导一下:,三维球对称,对于三维球对称情形，先选取,对式 两边在球内积分,高斯定理,即点源位
7、于坐标原点处,选点源位于坐标原点处,选点源位于坐标原点处,若点源位于任一点 ，,对于三维无界球对称情形的格林函数,可以选取为,从而得到三维无界区域问题的解为,代入(12.1.11),上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式,二维轴对称情形,用单位长的圆柱体来代替球，积分在单位长的圆柱体内进行，即,由于,只是垂直于z轴，且向外的分量,所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只有沿侧面的积分,选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果,令积分常数为0，得到,因此二维轴对称情形的格林函数为,得到二维无界区域的解为,二维轴对称情形的格林函数为,代入(12.1.11),二 用电像法求解格林函数,用格林
8、函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身,一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数,为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法,电像法的基本思路：,对物体的一部分影响可等效为点源,为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零,所产生的场，即某种场源总可以等效为一种点源。,2. 实际问题分析：,、问题：接地导体球面内有一带电量为0的点电荷，求激发的电势,利用分离变量法求解，但这样得到的解往往是无穷级数,麻烦！,下面用电像法求解，将得到有限形式的解,G1可用电像法求得：,由边界条件确定电荷
9、所在位置,基本思想：用想象的、处于场区外的点电荷代替导体表面感应电荷,像M1在球外，距原点 ，电量为q，,在任一点M(r)产生的电势为,因其电势为零，因此有,对于球面上P点：,、取电量原则：,因此，球内任一点的总电势为,3 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足,该问题也可用电像法求解，,，其解为,二维轴对称情形的格林函数,三 常见格林函数：,球坐标系下，无界问题的格林函数,极坐标系下的二维无界平面的格林函数,球内第一边值问题的格林函数,平面圆内第一类边值问题的格林函数,例1、在球内解拉普拉斯方程的第一边值问题：,解：这是球内的第一边值问题，,其格林函数为：,矢径 与 的方向分别为 与,球坐标系下：,代入,球的泊松积分,例2、在半空间z0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题：,解：先求半无界空间的格林函数：,在点M0(x0,y0,z0) 放置电量为-0的点电荷，该电势可用电像法求得。,不难验证，像在平面下方M0(x0,y0,-z0) ，电量为+ 0,代入,半空间的泊松积分,例3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建,物理模型：圆内一点 ，像点,代入,
