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1、第 4 章 集中、离中趋势的计量与分析,第 4 章 集中、离中趋势的计量与分析,4.1 集中趋势的测量 4.2 离散程度的测量 4.3 偏态与峰态的测量,学习目标,1.集中趋势各测量值的计算方法 2.集中趋势各测量值的特点及应用场合 3.离散程度各测量值的计算方法 4.离散程度各测量值的特点及应用场合 偏态与峰态的测量方法,变量分布的特征,变量分布特征的测量,4.1 集中趋势的测度,一. 均值（ 包括 Gm Hm） 二. 众数 三. 中位数和分位数 四. 众数、中位数和均值的比较,集中趋势,一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的
2、集中趋势测度值,简单平均数与加权平均数,设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn（有时组中值用M表示） 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,简单均值,加权均值,已改至此！,加权均值 (例题分析),加权算术平均数(权数f的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f ）：8 1 1,权数f的影响,权数f的大小，说明其所对应的变量值对于算术平均值的作用。 f越大，其所对应的变量值对于平均数的作用越大；反之，f越小，其所对应的变量值对于平均数
3、的作用越小。,算术平均数的数学性质,1.各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,几何平均数Gm,n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于平均速度、平均比率的计算 计算公式为,4. 可看作是算术平均数值的一种变形,几何平均数 (例题分析),【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,几何平均数 (例题分析),【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、200
4、2和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率,算术平均：,几何平均：,调和平均数,均值的另一种表现形式 易受极端值的影响 计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数 (例题分析),【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,众数,众数,出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,分类数据的众数 (例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 在所调查的50人中，购买可口可乐的
5、人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐,顺序数据的众数 (例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,数据指标的众数,计算公式,下限公式 上限公式,L1:众数组的下限值 L2：众数组的上限值 1：众数组的与以下一组的次数差 2 ：众数组的与以上一组的次数差 i：众数组的组距,众数的计算,中位数和分位数,中位数,排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据,中位数(位置的确定),原始
6、数据：,分组数据：,顺序数据的中位数 (例题分析),解：中位数的位置为 （300+1）/2150.5 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此 Me=一般,数值型数据的中位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,数值型数据的中位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 8
7、50 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,数值型数据的中位数,分组数据的计算公式,下限公式 上限公式,L1:中位数组的下限值 L2：中位数组的上限值 SM-1：中位数组以下一组的累积次数 SM+1 ：中位数组以上一组的累积次数 FM：中位数组的次数 i：中位数组的组距,中位数计算,四分位数,排序后处于25%和75%位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,四分位数(位置的确定),原始数据：,顺序数据：,顺序数据的四分位数 (例题分析),解：QL位置= (300)/4 =75
8、QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL = 不满意 QU = 一般,数值型数据的四分位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,数值型数据的四分位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080
9、1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,综合练习,设某大学某系100人的身高资料如下： 分别求出众数、中位数、算术平均数 分析三者不同的原因,众数、中位数和均值的比较,众数、中位数和均值的关系,众数、中位数和均值的特点和应用,众数 不受极端值影响 具有不唯一性 数据分布偏斜程度较大时应用 2. 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 3. 均值 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,4.2 离散程度的测度,异众比率 四分位差 平均差、标准差 标准分数 相对离散程度：离散系数,数据
10、的特征和测量,离中趋势,数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,异众比率,异众比率,1.非众数组的频数占总频数的比率 2.计算公式为,3. 用于衡量众数的代表性,异众比率 (例题分析),解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,四分位差,四分位差,也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 QD = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代
11、表性,四分位差 (例题分析),解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU = QL = 3 2 = 1,极差、平均差和标准差,极差,一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,R = max(xi) - min(xi),计算公式为,标准差,数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异,方差和标准差,方差的计算公式,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,标准差的计算公式,标准差 (例题分析),标准差 (例题分析),含
12、义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.48台,相对位置的测量：标准分数,标准分数,1. 也称标准化值 2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.用于对变量的标准化处理 4. 计算公式为,标准分数(性质),均值等于0 2.方差等于1,标准分数(性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。,标准化值 (例题分析),相对离散程度：离散系数,离散系数,1.标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较
13、5. 计算公式为,离散系数 (例题分析),【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数 (例题分析),结论： 计算结果表明，v1v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,数据类型与离散程度测度值,4.3 偏态与峰态的测度,一. 偏态及其测度 二. 峰态及其测度,数据的特征和测度,偏态与峰态分布的形状,偏态,峰态,偏 态,偏 态,1. 数据分布偏斜程度的测度 2.偏态系数=0为对称分布 3.偏态系数 0为右偏分布 4.偏态系数 0为左偏分布,偏态系数,根据原始数据计算 根据分组数据计算,偏态系数 (例题分析),偏态系数 (例题分析),结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,偏态与峰态(从直方图上观察),按销售量分组(台),结论：1. 为右偏分布 2. 峰态适中,某电脑公司销售量分布的直方图,峰 态,峰 态,数据分布扁平程度的测量 峰态系数=0扁平峰度适中 峰态系数0为尖峰分布,峰态系数,根据原始数据计算 根据分组数据计算,峰态系数 (例题分析),结论：偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,
