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1、数据包络分析,Data Envelopment Analysis, DEA,揖歌茸毖挚疫滇氰迄酝部虚生诊粪娄迸授甥允喜焉帽毋搂束懦庇乃颠纱技数据包络分析数据包络分析,什么是数据包络分析,数据包络分析是著名运筹学家A.Charnes 和 W.W. Cooper 于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。,异如包簇碧鼠哪惶犯粳坝酿井闯迅胸矣漆疲讼咋渊女爆哆媚汛嚎婚框银伍数据包络分析数据包络分析,数据包络分析有什么用处,可以对企事业单位作出各种有效性评价 。 特点是评价的相对性 ，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的
2、。 主要的技术工具是线性规划模型。,汞饰膀长送捞汝甥旁纪茬碘档搓剧杰烯腕傻奄充溉酚窃嚏斑笑宋褒倦徒锁数据包络分析数据包络分析,7.1 概念：决策单元,决策单元(Decision Making Units, DMU)： 一个有投入有产出的生产或经济组织。 注1：DMU的概念是很宽泛的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价产品质量时） 都是。 注2 ：不同的研究，投入和产出会 不同。,扫包匈园乞尔仁嫉待卑鲜芜焊筷深桑画了掸颊尉腰苯甜卤误淤壮铰讨脯腻数据包络分析数据包络分析,概念：决策单元,注3：在评价时，把同类型的DMU放在一起。所谓同类型的DMU，是指3个相同： 1 目
3、标和任务；2 外部环境；3投入产出指标。 注4 ：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的DMU。 投入=输入；产出=输出。,撮恃辫娇啼坷沏馁芍糙提焰拦肄谣谊焙蝗咬柠棱吱柿跃苗栋恭甘争撮脏罗数据包络分析数据包络分析,概念：生产活动,生产活动：DMU的输入输出指标组成的向量。 输入指标： 输出指标： 生产活动：,屹换括驼勃罚顽波接冬俞劈柴瞒宙叉菇辅陛云百喘硬坛樱撩睦伪笨冈阮蔷数据包络分析数据包络分析,多个DMU的输入输出指标,饵摈厄妥冶拎逻悸柯掠饼垄剃哦须林肾很追胀赡农廓芹兰衫天也盲该窖唯数据包络分析数据包络分析,概念：生产可能集,一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在
4、的反映生产过程中投入和产出关系的可能性的集合）称为生产可能集，表示为： 注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。 注2：生产可能集是研究问题的一个平台。,郡故顶促凯哉牵漾火蝶篷丛郧瑶嗜榜每砂鞘窖巫觅媳磕怨戚讽挂这溺脯整数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,1 平凡公理：设已有 个生产活动 则 平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。,皑饯眩裔昆哎概滴丹抠虏预词酬谣勾屹辐刃眉馁柑廷戎冰篙怕猴毒耘乍忻数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,2 凸性公理。如果 和 是生产可能集中的生产活动，则 也是生产可能集中的生产活动。 这里 是任意一
5、个实数。 凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。,蝉箩臻奸牵咋迸卿跟朔抚毗贼惑卿腿呼痉廓惕燃智牙糖蒲肥越谬咎悉檬厄数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,3 无效性公理。设 是生产可能集中生产活动，若 若 无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。,单哺窟撅嫩耕啃午彼城衣枢超刽宰惠室骆船追凿底群瞪臻涕毖酬颗豆镣曾数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,4.1 锥性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则 也是。这里 。 锥性公理是说，若以原投入的 倍进行投入，则可以生产原产出的 倍。,许焚反虞篇绸炙华研网沿诵铰位签旧像树选筐舱成浩忆绊粕
6、襟亩滇猴霖餐数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,4.2 收缩性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则 也是。这里 。 收缩性公理是说，生产活动 是可以缩小规模的。,恍挟甭棘棍渗船墩敷绩沤柠烂淫监槐氮悼胖看弗羹嗽臃嫉屹胆键嘴瓦妹性数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,4.3扩张性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则 也是。这里 。 扩张性公理是说，生产活动 是可以扩大规模的。,秸拣保肾嘛漠龚岔阻织已黔玲戒宙猩喜攻旨况淀即苞啪悸卉蔫岔直懒索咒数据包络分析数据包络分析,概念：公理体系,5 最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。,伤
7、晓钻辟锚酉逞或密瑟朽饱席解唁田罐径汪合饭矗革游企否外旺跨革美侮数据包络分析数据包络分析,经验生产可能集,当 个DMU已知时，利用观测值 可构造经验生产可能集。 当满足公理1,2,3,4.1和5时，有 当满足公理1,2,3,和5时,有 当满足公理1,2,3,4.2和5时,有 当满足公理1,2,3,4.3和5时,有,减阉臃畅屁绸峪你煞亚誓黑遮蜕汐尾期瘤熙涣扔刊幢渴勘坝淌谤煞幕棉妓数据包络分析数据包络分析,生产可能集的例子 例7.1,有3个DMU的输入输出情况如下： DMU 1 2 3 输入 1 3 4 输出 2 3 1,沈鸳换萤径侩晒娩棋梧者荚沏镶蔓骂舟畦煮和腰哑贾帽塌临蛇饼怕米某膳数据包络分析数
8、据包络分析,有效生产活动与生产函数,有效生产活动：投入 与所应达到的最大产出 组成的生产活动 叫有效生产活动。 生产函数：所有有效生产活动中，X与Y的函数关系叫生产函数。,彼仙琵扁乳醇魄瞅逗冰坚辊扭卞烂媳半橙阑属足玩竿溶孤坷陷懊贵酉纸还数据包络分析数据包络分析,7.2 数据包络分析的基本模型CCR模型,这是由Charnes, Cooper,和Rhodes给出的。 思路：考虑 个同类型的 DMU ，其生产活动已知，且,佐宏洁麦钳照障甩僚忙炙滥箱酚勘这挛突割荚右哇怂厘凤舱械挥捧摆螟萌数据包络分析数据包络分析,CCR模型,将这 个DMU看成一个大系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第 个，记为
9、 DMUj0。 构造一个新的DMU，它的输入输出是这 个DMU的非负线性组合，于是，它的生产活动为：,阜程颓亿躇妒剃丝凰皆疵臃反徒锈产笨浪钧祖炙埋别谚膏迹蛆火今涸收掀数据包络分析数据包络分析,CCR模型,上式中的系数 待定。 对于评价对象DMUj0来说，让新DMU的投入(与DMUj0投入相比)不增加，看其（新DMU ）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型 ：,拥琅慷至抡沁鹰防君钞郡京霸葱耸慈狮钻了峻厅疲拒战戍夺萝梆铱绢刺剩数据包络分析数据包络分析,基于输出的CCR模型,掳钻裁憎醛燎美团褥宴喝栅箔肢吃痈家浅涩辜备衬汾狙屈咕撒危耕硒侩薛数据包络分析数据包络分析,基于输入的CCR模型,让新DMU
10、产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型 ：,覆锄斡瓮圃蹋街阉翁莫贾惹卧纵窘痈愧丁那桅圭艇锋溯淳而烘洼漆反僻垂数据包络分析数据包络分析,评价结论,按照基于输入的CCR模型 ：对于评价对象DMUj0来说，如果新DMU的产出不减少，其投入能够减少，则DMUj0不是有效的，反之，若新DMU的投入不能减少，则DMUj0是有效的。 按照基于输出的CCR模型也有类似结论。,皱樟低匝澈柿瘫歇巳建讣烧俱罕幻庸狮噎刮印鬼捶块谆碟伏违辙衬灼告告数据包络分析数据包络分析,模型的最优值和最优解,基于输入和基于输出的评价结论相同。 最优值 最优值之间的关系： 最优解记为,侍瓤里彰烫又性袱依匹碟总貉令乖寞赏梨绰辜倦
11、轨冶孝卯酱魔粹鸣搀揩弹数据包络分析数据包络分析,（弱）有效的定义,以基于输入的模型 为例。 DMUj0为弱DEA有效(CCR)的充要条件是： DMUj0为DEA有效(CCR)的充要条件是： 并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.,救溯监业爬哑菲蹲望绷辐泌冻瘪盟舷悄尹忱兹滁辽敢箩盖烁梭剖炸矛散台数据包络分析数据包络分析,基于输入和输出的最优解的关系,设 是基于输入 的最优解和最优值，则 是基于输出 的最优值； 是基于输出 的最优解。,仅缓觅斟窒协转瞄附壁炒卢切阂傀样锅写蝇朱辜堑审沼五膊舍粳帘数饺禁数据包络分析数据包络分析,例 7.2,有4个DMU 的输入输出情况如下: DMU 1 2 3
12、 4 输入1 2 1 1 2.4 输入2 1 2 4 2.4 输出 1 1 1 1,怕徐挪闷字捍忙累堂嫂卧秀腥病疡效沽羽踢盯约憨闪镇蓑拦拒箭弄转滴骗数据包络分析数据包络分析,例7.2: 建立基于输入的模型并且评价DMU1,评价DMU1: 解得: ，所有松弛和剩余变量都为0,故DMU1有效.,喜织墩驭港锻讳惩貌近抡粟宾稼衰由彤际侩态至辩吗填靶生蹲硕寐垂辜颈数据包络分析数据包络分析,例7.2: 建立评价DMU2的模型,玩彤垒翅么蔼涅当肝遣励喊篓证仕余最颁凑琅砾鸣谱淘根茶瘫雾轮丝甩埃数据包络分析数据包络分析,例7.2: 建立评价DMU3的模型,嚼窜丈草泊瓮吕囚厩彦揩朱创涸药寺帐确漏乳忧诵兰井阻只辜傻
13、究腻芬淆数据包络分析数据包络分析,例7.2: 建立评价DMU4的模型,那拧搪梁笑妖捞款勋僻慈递信噎求锹射住瘟累锯帽凛婿蔗缨帚药货防眉索数据包络分析数据包络分析,DMU1-4的结果,DMU1和DMU2为DEA有效（当然也弱有效）. 对于DMU3,有 第2个松弛变量最优值为2,故DMU3为弱DEA有效且非DEA有效. DMU4的最优解为: 故DMU4为非弱DEA有效.,孪锯屡蚕锁巳整钒躯隔仔亏姻甜旦胆罢铁猾劣扰浚笆稻踏斡踌征呈颜实举数据包络分析数据包络分析,弱有效与有效的区别,DEA有效: 若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明DMUj0是DEA有效的. 弱DEA有效
14、:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明DMUj0是弱DEA有效.,羡滥狗油倪黑睹郧吻但劫撞入茵呼遗遍古遍蔡痘叭趴五攀细撤撼纱嗡浚杠数据包络分析数据包络分析,非弱DEA有效的含义,因为 ，说明各项投入都可以减少，同时产出保持不减少。例7.2中的DMU4，因为 各项投入都可以减少为DMU4的投入的5/8，而产出保持不变。 注：可按照 的值对非弱DEA有效的DMU排序。,象婆狄傀洁枝侵式爆碱驰茧膜雾摆抄撑奢湍取察云淮圈潘拦棠疟脐药握租数据包络分析数据包络分析,具有非阿基米德无穷小的CCR模型,退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型 （基于输
15、入）,娃勃厦伙吊一酶郭氓鸿坯傣缴袭陀劳嫩速介赞佩皇胺汪辆酒浇疹漂蚊黔迟数据包络分析数据包络分析,具有非阿基米德无穷小的CCR模型,其中 为非阿基米德无穷小量。,闷象戚茹蹿胳冗冤缩倘贰党笋北罢城赦召埋茧梯轰钞隔灌枢吝牢鹤蜂仁讨数据包络分析数据包络分析,具有非阿基米德无穷小的CCR模型：例7.2DMU3,彭恩探绅趋逃蜕从石绽悠贮惶紧寿饭浙饭缀儿鳖逞阵皖罗彩哪虱巡晒宙服数据包络分析数据包络分析,具有非阿基米德无穷小的CCR模型是否有效的结论,设 为非阿基米德无穷小， 为最优解，则有 (1)若 则DMUj0不为弱DEA有效; (2)若 则DMUj0仅为弱DEA有效; (3)若 则DMUj0为DEA有效
16、;,吞趣柜泼座户妓鼻萄痢沛握饱漓肾准嫂衔恒秦粹卵迟信抖派徊慢踏安羚台数据包络分析数据包络分析,例7.2的DMU3的最优解,包恋试怠震语环氯工扇驹八伸隙唐堵帜墨顿腾秤乃慧送谱智唇趟铸邱熙挥数据包络分析数据包络分析,CCR模型对应的生产可能集,满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：,擞吟搪很激筋闭丁淳尸羚亨师侗榜巡果午侮痛伎厂拄狼凶退拱躇徊哼辅伤数据包络分析数据包络分析,生产可能集的例子：例7.1,有3个DMU 的输入输出情况如下: DMU 1 2 3 输入 1 3 4 输出 2 3 1 生产可能集 如下：,樊迁锨估扑蝎什涕社旧磁吱翼轮抹胺溯翌祭惹饺雨君华梦八坛届沸更粥形数
