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1、2.2.1 直线与平面平行的判定定理,1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?,2.如何判定一条直线和一个平面平行呢?,复习引入,将课本的一边AB紧靠桌面,并绕AB转动,观察AB的对边CD在各个位置时,是不是都与桌面所在的平面平行?,从中你能得出什么结论?,A,B,C,D,CD是桌面外一条直线, AB是桌面内一条直线, 若CD AB ,则CD 桌面.,直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢?,结论:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.,观察:,若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.,(2)该定理作用:“线线平行线面平行”空间问题“
2、平面化”,即,1.直线与平面平行的判定定理,(1)用该定理判断直线a和平面平行,须具备三个条件: “面外、面内、平行”,(3)应用该定理,关键是在平面内找到一条直线与已知直线a平行.,已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点. 求证:EF/平面BCD.,分析:EF在面BCD外,要证明EF面BCD,只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可.,EF和面BCD哪一条直线平行呢?,直线BD,例 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面.,在ABD中,E、F分别是AB、AD的中点,证明:,EFBD,EF平面BCD,又 EF 平面BCD,,连接BD,,三角形的中位线是常
3、用的找平行线的方法.,1.如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.,(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗?,(1)E、F、G、H四点是否共面?,(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系;,练习,解:(1)E、F、G、H四点共面.,在ABD中,E、H分别是AB、AD的中点.,EHBD且,同理GFBD且, EHGF且 EHGF,E、F、G、H四点共面.,(2) AC 平面EFGH,解:(3)由EFHGAC,得,EF平面ACD,,AC平面EFGH,,HG平面ABC.,由BDEHFG,得,BD平面EFGH,,EH平面BCD,,FG平面ABD.,1.如图,
4、四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.,(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗?,(1)E、F、G、H四点是否共面?,(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系;,证明:如图,连接BD1 , 在DBD1中,EF为三角形中位线, 所以EF/BD1 , 又EF 平面ABC1D1 , BD1 平面ABC1D1 所以BD1/平面ABC1D1,例 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.求证:EF/平面ABC1D1.,解:直线BD1/平面AEC,证明如下: 如图,连接BD交AC于O,再连接OE 在DBD1中,OE为三角
5、形中位线, 所以OE/BD1, 又BD1 平面AEC,OE 平面AEC, 故BD1/平面AEC.,P56 2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系,并说明理由.,O,注意:在直观图中,线段平行关系不变,可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在.,练习,(1)平行,(2)相交,1.平面与平面有几种位置关系?,没有公共点,有一条公共直线,复习引入,问1:两个平面平行,那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何?,平行,问2:如果一个平面内的所有直线,都与另一个平面平行,那么这两个平面的位置关系如何?,平行,结论:两个平面平行的问题可
6、以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.,当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行,那么需要几条直线才能说明问题呢?,复习引入,2.问题:还可以怎样判定平面与平面平行呢?,(两平面平行),(两平面相交),探究,(两平面平行),(两平面相交),E,F,直线的条数不是关键!,探究,直线相交才是关键!,探究,线不在多,重在相交!,2.平面与平面平行的判定定理,若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行.,(1)该定理中,“两条”,“相交”都是必要条件,缺一不可:,(2)该定理作用:“线面平行面面平行”,(3)应用该定理,关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两
7、条直线平行即可.,线线平行线面平行面面平行,证明:因为ABCDA1B1C1D1为正方体, 所以D1C1A1B1,D1C1A1B1 又ABA1B1,ABA1B1, D1C1AB,D1C1AB, D1C1BA是平行四边形, D1AC1B,,又因为D1A 平面C1BD,CB 平面C1BD.,由直线与平面平行的判定,可知,同理D1B1平面C1BD. 又 D1AD1B1=D1,,所以,平面AB1D1平面C1BD.,D1A平面C1BD,,平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法.,练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M、N、P、Q分别是棱A1D1,A1B1,BC,CD的中点,求证:平面AMN/平
8、面C1QP.,练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN/平面EFDB.,K,练习,back,(1)与直线AB平行的平面是:,(2)与直线AD平行的平面是:,(3)与直线AA1 平行的平面是:,平面A1C1 和 平面 DC1,平面BC1 和 平面A1C1,平面BC1 和 平面 DC1,1、如图,在长方体的六个面中,,AB平面CD1,ABCD,因为平行四边形对边平行,2.判断下列命题是否正确,并说明理由 (1)若平面 内的两条直线分别与平面 平行,则 与 平行; (2)若平面 内有无数条直线分别与平面 平行,
9、则 与 平行; (3)如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面, 那么这两个平面平行; (4)平行于同一直线的两个平面平行; (5)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; (6)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面,例1.如图,已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 ,面ABCD的中心.求证PQ/ 平面AA1B1B,并求线段的PQ长.,解:(1)连接AB1,在AB1D1中, 显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点, 所以,PQ/AB1,且PQ= CD1 又因为PQ 平面AA1B1B CD1 平面AA1B1B 所以 PQ/ 平面AA1B
10、1B,(2)AB1 = ,PQ=,问:PQ/ 平面DD1C1C?,PQ/C1D,例2. 如图,点B为ACD所在平面外一点,M,N分别为ABC,ABD的重心.(1)求证:MN/平面ACD.(2)若底面边长为1为正三角形,求线段的MN的长度.,解:(1)分别连接BM,BF交AC,AD于点E,F.因为M,N分别为对应三角形的重心,故E,F为相应边的中点,且有 BM:ME=2:1,BN:NF=2:1 MN/EF且MN= EF. 又因为MN 平面ACD,EF 平面ACD所以 MN/ 平面ACD.,E,F,(2) 又因为在ACD中,EF是三角形的中位线, 所以,EF/CD且EF= CD. MN= ,CD=
11、,线段成比例也是常用的找平行线的方法.,C1,A,C,B1,B,M,N,A1,F,证明:取A1C1中点F,连结NF,FC,N为A1B1中点,,M是BC的中点,,NFCM为平行四边形,,故MNCF, MN平面AA1C1C.,例3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M、 N分别是BC和A1B1的中点,求证:MN平面AA1C1C,例4.三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC1上的点,F是CB1上的中点,求证:A1B/平面ADC1 .,法一:线面平行判定定理连接BC1,则DE为ABC1中位线,所以EF/AB,又EF 平面ABC ,AB 平面ABC,故EF/平面ABC.,法二:由面面平行判定线面平行取
12、CC1的中点G,连接GE和GF,则GE为ACC1中位线,所以GE/AC,又GE 平面ABC ,AC 平面ABC,故GE/平面ABC.,G,同理可证GF/平面ABC.,又GEGF=G,所以面GEF/面ABC.,解:依题意点D为边BC的中点. 连接A1C交AC1于E,连接DE. 在ADC1中,DE为三角形中位线, 所以DE/A1B, 又DE 平面ADC1 ,A1B 平面ADC1 故A1B/平面ADC1,1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,D是BC上的点,若ADBC,求证:A1B/平面ADC1 .,E,练习,2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,M,N分别是AB,P
13、C的中点,求证:MN/平面PAD.,H,G,法二:取DC的中点G,连接GN,GM ,,往证面GMN/面PAD即可.,证明:取PD的中点H,连接HN,AH , 在三角形PDC中,HN为三角形中位线, 所以HN/DC且 HN= DC 又因为底面为正方形,且M为AB中点, 所以AM/DC且 AM= DC AM/HN且 AM=HN 即AMNH为平行四边形,故MN/AH 又AH 平面PAD ,MN 平面PAD, 故MN/平面PAD.,3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PAD是正三角形,E,F分别是PC,BD的中点,求证:EF/平面PAD.,证明:分别取PD,AD的中点G,H ,连接G
14、E,HF ,GH 在PDC中,GE为三角形中位线, 所以GE/DC且 GE= DC 同理,HF/AB且 HF= AB 又底面为正方形,AM/DC且 AM=DC GE/HF且 GE=HF 即HFEG为平行四边形,故EF/GH 又GH 平面PAD ,EF 平面PAD, 故EF/平面PAD.,G,H,4. 如图点B为ACD所在平面外一点,M,N,G分别为ABC,ABD, BCD的重心.(1)求证:平面MNG/平面ACD. (2)求 的值.,E,F,H,同理,连接BG交CD于中点H,可证NG/平面ACD且NG= FH.又因为MNNG=N,所以面MNG/面ACD.,练习,解:(1)分别连接BM,BF交A
15、C,AD于点E,F.因为M,N分别为对应三角形的重心,故E,F为相应边的中点,且有 BM:ME=2:1,BN:NF=2:1 MN/EF且MN= EF. 又因为MN 平面ACD,EF 平面ACD所以 MN/ 平面ACD.,同理可证明NG= AC且NG/AC, MG= AD且NG/AD,5. 如图点B为ACD所在平面外一点,M,N,G分别为ABC,ABD, BCD的重心.(1)求证:平面MNG/平面ACD. (2)求 的值.,练习,解:(2)因为EF是ACD的中位线, 所以,EF/CD且EF= CD. 由(1)知MN= EF. MN= CD且MN/CD,6.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中
16、,点E在AB1上,F在BD上,B1E=BF,求证:EF/ 平面BB1C1C.,解:(1)连接AF交BC于点,再连接B1K,,K,又因为EF 平面BB1C1C B1K 平面BB1C1C 所以EF/ 平面BB1C1C,练习,7.P是长方形ABCD所在平面外的一点,AB、PD两点M、N满足AM:MB=ND:NP.求证:MN平面PBC.,练习,过M作ME/AD交BD于点E,连接EN,2. 线面平行判定定理应用时应注意: “面外,面内,平行”;面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条,相交”;,小结:,1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定:,3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线,方法一:三角形的中位线定理;,方