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1、第3讲函数的奇偶性与周期性,【2014年高考会这样考】 1判断函数的奇偶性 2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值 3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用 4对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题,考点梳理,(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且_成立，则称F(x)为偶函数 (2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且_成立，则称F(x)为奇函数,1奇、偶函数的概念,F(x)F(x),F(x)F(x),(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_ (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_，两个奇函数的积是_；
2、两个偶函数的和、积都是_； 一个奇函数和一个偶函数的积是_,2奇、偶函数的性质,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,3周期性,f(xT)f(x),存在一个最小,一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0. (2)设
3、f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,【助学微博】,三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数 (3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.,A1 B1 C2 D2 解析由于f(x)的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1) 又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1
4、)f(2)f(1)211，即f(3)f(4)1. 答案A,考点自测,1(2013徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4) (),Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数 解析由题知f(x)f(x)，g(x)g(x)，显然f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|. 答案A,2(2011广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 (),A335 B338 C1 678 D2 012 解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的
5、周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338，故选B. 答案B,3(2012山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012) (),解析画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)0的x的取值范围：(1,0)(1，) 答案(1,0)(1，),5(2013双桥区模拟)设函数f(x)是定义在R
6、上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_,【例1】(2013广州模拟)判断下列函数的奇偶性：,考向一函数奇偶性的判断,审题视点 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立,(3)当x0， f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，f(x)x2x，x0， f(x)(x)2xx2xf(x) f(x)是奇函数,(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；判断f(x)是否等于f(x) (2)分段函数指在定义域的不同子
7、集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性,(2)函数定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0， 故f(x)x2xf(x)， 当x0时，x0， 故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数,(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围 审题视点 利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件 解(1)对于
8、任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,考向二函数奇偶性的应用,【例2】函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2),(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数 f(x1)2f(|x1|)f(16) 又f(x)在(0，)上是增函数 0|x1|16，解之得15x17且x1. x的取值范围是x|15x17且x1,抽象函数奇偶性的判断方法 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(x)、f(x)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
9、(3)找出f(x)与f(x)的关系，得出结论,(2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013) 审题视点 (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式，进而求得f(x)在2,4上的解析式；(3)由周期性求和的值,考向三函数的奇偶性与周期性,【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有,f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数；,(1)证明f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期
10、函数 (2)解x2,4，x4，2，4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4,(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.,判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与
11、函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题,A2 B2 C98 D98 解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选A. 答案A,【训练3】 (2013成都质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于 (),【命题研究】 通过对近三年高考试题的分析可以看出，考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉，并能
12、结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用常考题型有选择题、填空题，题目为中档难度,热点突破4函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题,【真题探究1】 (2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 (),教你审题 先确定奇函数，再确定函数单调递增 解法 选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项D，去绝对值号，变为分段函数，符合题意 答案 D 反思 通过题目的反复练习，熟练掌握函数奇偶性的判断方法及函数单调性的判断方法,【试一试1】 (2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 () 答案B,答案 A,解析f(x)为R上的奇函数，f(2)f(2)， 又当x2时，f(2)2231，f(2)1. 答案1,【试一试2】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.,
