《2019年第七章连续小波变换课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年第七章连续小波变换课件（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 连续小波变换,基本小波,连续小波变换的定义,连续小波变换的性质,常用的基本小波,连续小波变换的逆变换,连续小波变换的再生核,小波时频分析,CWT的变换过程示例,连续小波变换的数值积分结果演示,连续小波变换的应用,基本小波,定义：,性质：,(1) 带通性质,(2) 零均值和波动性,(3) 局部化特性,尺度因子,平移因子,归一化因子,连续小波变换的定义,定义：,称为小波基函数,一般可简记为,连续小波变换的性质,(4)自相似性:对应不同尺度参数a和不同的平移参数b的连续小波变换之间是自相似的,线性性: 一个多分量信号的连续小波变换等于各个分量 的小波变换之和,(5)冗余性: 连续小波变换中存在信
2、息表述的冗余,连续小波变换的逆变换,逆变换存在的可能性： 窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。 连续小波变换结果有很大的冗余度。 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 假设 f(t)、(t) L2(R)：,常用的基本小波,Haar小波,2. Daubechies小波,D4尺度函数与小波,D6尺度函数与小波,常用的基本小波,3、双正交小波,双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器,bior2.2, bior4.4,（7-5）小波滤波器:,常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。,常用的基本小波,4. Morlet小波,Morlet小波不存在尺度函数
3、; 快速衰减但非紧支撑.,Morlet小波是Gabor 小波的特例。,Gabor 小波,Morlet小波,常用的基本小波,5. 高斯小波,这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。,特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。,常用的基本小波,6. Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）,这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。,特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。,常用的基本小波,7. Meyer小波,它的
4、小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：,常用的基本小波,8. Shannon小波,在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。,常用的基本小波,9. Battle-Lemarie样条小波,常用的基本小波,连续小波变换的再生核,尺度和位移连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过度完全基，小波展开系数之间的相关关系可表示为,1. CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 2. 利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。,重建核方程,重建核,小波时频分析,小波分析能提供
5、随频率改变的时-频窗(自适应窗口)。,小波时频分析,内的局部化信息,即小波变换具有时频局部化特征。,窗宽:,面积:,“恒Q性质”： 小波函数a,b(t)的频率具有带通特性，带通滤波特性的品质因数Q为,小波时频分析,各种变换的比较,小波变换的特性 分解种类：时间-尺度或时间-频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号,短时Fourier变换的特性 分解种类：时间-频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的
6、波 变量：频率，窗口的位置 信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号,Fourier变换变换的特性 分解种类：频率 分析函数：正弦函数，余弦函数 变量： 频率 信息：组成信号的频率 适应场合：平稳信号,CWT的变换过程示例,CWT的变换过程示例，见图，可分如下5步 小波 (t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 计算系数C该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高 小波右移k得到的小波函数为 (t-k) ，然后重复步骤1和2，直到信号结束 扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为 (t/
7、2) 重复步骤14,图2-1 连续小波变换的过程,对于含噪声的周期性信号noissin进行连续小波分解，首先使用db4小波对比小波对信号进行不同尺度的分解，重新选择分解尺度后脚明显地显示出了信号的周期性特征，最后使用复小波cgau4对信号进行分解，分别得到信号的实部、虚部、模和相位。结果如图2-2、2-3和图2-4所示。,连续小波变换的数值积分结果演示,连续小波变换的数值积分结果演示,图2-2 原始信号,连续小波变换的数值积分结果演示,图2-3 不同尺度下的连续小波分解,连续小波变换的数值积分结果演示,图2-4 信号的复连续小波分解,正弦信号在位置500处有一间断点，由于间断点持续的时间很短，
8、因此在波形图中无法辨识出间断点来。如图2-5。,连续小波变换用于断点分析,图2-5 原始信号,对该信号进行快速Fourier变换，得到信号的频谱图。观察信号的频谱，除了正弦信号的基频之外，无任何额外的信息。如图2-6。,连续小波变换用于断点分析,图2-6 频谱图,选取db4小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，对信号实施连续小波变换，得到小波系数分布图。在空间位置500处间断点的信息一目了然地显现出来。在尺度为1处，在整个时间范围（空间位置）内分布的小波系数是正弦信号的基频信息。而空间位置500处的间断点在时间上是局部的，小波系数集中发生在间断位置的各个尺度上，将间断信息凸现
9、了出来。如图2-7。,连续小波变换用于断点分析,传统的快速Fourier变换对此却无能为力，究其原因在于间断分布的能量在整个信号中所占的比例太小，而Fourier变换并无时间局部化能力。,连续小波变换用于断点分析,图2-7 连续小波变换,连续小波变换用于自相似性检测,直观上讲，小波分解可通过计算信号和小波之间的自相 似指数(小波系数)得到。自相似指数大，则信号的自相似程 度就高；反之亦然。若一个信号在不同的尺度上都相似于它 本身，那么，其自相似指数在不同的尺度上也是相似的。,对自相似信号vonkoch进行连续小波变换。由图2-8可见， 在小波分解后显示的自相似指数图中，在许多尺度上，小波 系数看上去是相似的，另外，垂直轴线上显示的线条就是由 于信号的自相似性产生的。小波系数越大，则灰度越深。 由于信号的自相似性也是信号的分形特征，采用小波分 解可以很好地研究信号或图像的分形特征。开始时，分形特 征随着时间的发展而变化，随后又不随时间的发展而发生变 化。,连续小波变换用于自相似性检测,图2-8 自相似信号,连续小波变换用于自相似性检测,图2-9 自相似信号的连续小波变换,
