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1、中考数学专题讲座 几何综合题概述:几何综合题一般以圆为基础,涉及相似三角形等有关知识;这类题虽较难,但有梯度,一般题目中由浅入深有 13 个问题,解答这种题一般用分析综合法典型例题精析例 1如图,已知O 的两条弦 AC、BD 相交于点Q,OABD(1)求证:AB 2=AQAC:(2)若过点 C 作O 的切线交 DB 的延长线于点 P,求证:PC=PQ分析:要证 AB2=AQAC,一般都证明ABQACB有一个公共角QAB=BAC,只需再证明一个角相等即可可选定两个圆周角ABQ=ACB 加以证明,以便转化,题目中有垂直于弦的直径,可知AB=AD,AD 和 AB 所对的圆周角相等(2)欲证 PC=P
2、Q,是具有公共端点的两条线段,可证PQC=PCQ(等角对等边)将两角转化,一般原地踏步是不可能证明出来的,没有那么轻松愉快的题目给你做,因为数学是思维的体操BQC=AQD=90-1(充分利用直角三角形中互余关系)PCA 是弦切角,易发现应延长 AO 与交于 E,再连结 EC,利用弦切角定理得PCA=E,同时也得到直径上的圆周角ACE=90,PCA=E=90-1做几何证明题大家要有信心,拓展思维,不断转化,寻根问底,不断探索,充分发挥题目中条件的总体作用,总能得到你想要的结论,同时也要做好一部分典型题,这样有利于做题时发生迁移,联想例 2如图,O 1 与O 2 外切于点 C,连心线 O1O2 所
3、在的直线分别交O 1,O 2 于A、E, 过点 A 作O 2 的切线 AD 交O 1 于 B,切点为 D,过点 E 作O 2 的切线与 AD 交于F,连结 BC、CD、DE(1)如果 AD:AC=2:1,求 AC:CE 的值;(2)在(1)的条件下,求 sinA 和 tanDCE 的值;(3)当 AC:CE 为何值时,DEF 为正三角形?COBAQED P 分析:(1)根据题的结构实质上证明ADCAED,进而可求 AC,CE,设 CD=2x,则AC=x,易证ADCAED, ,ADCE ,2xAE=4x,CE=AE-AC=3x,AC:CE=x:3x=1:3(此题凭经验而做)(2)求 sinA,必
4、须在直角三角形中,现存的有 RtABC 和 RtAEF,但都只知一边无法求 sinA另想办法,连结 DO2,则 DO2= x,3且ADO 2=90,AO 2=x+ x= x,5sinA= 23DOA欲求 tanDCE 即求 ,易证ADCAED,EC = =2,E42xtanDCE=2(3)假设DEF 为等边,则FED=DCE=60,tan60= = ,设 DE= x,则 DC=x,CE=2x,易证BDCDEC,DC33 ,2xBBC= x,连 DO2,易证 BCDO 2,1 即 ,2BCADOCxAC=x, AC:CE=1:2中考样题训练 1如图O 的直径 DF 与弦 AB 交于点 E,C 为
5、O外一点,CBAB,G是直线 CD 上一点,ADG=ABD,求证:ADCE=DEDF说明:(1)如果你经过反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写 3 步)(2)在你经过说明(1)的过程之后,可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明CDB=CEB;ADEC;DEC=ADF,且CDE=90COBA EDGF2已知,如图,在半径为 4 的O 中,AB、CD 是两条直径,M 为 OB 的中点,CM 的延长线交O 于点 E,且 EMMC,连结 DE,DE= 15(1)求 EM 的长;(2)求 sinEOB 的值O2O1 CBA EDFMCO
6、BAED3如图,已知O 是ABC 的外接圆,AB 是O 的直径,D是 AB 延长线上一点,AEDC 交DC 的延长线于点 E,且 AC 平分EAB(1)求证:DE 是O 切线;(2)若 AB=6,AE= ,求 BD 和 BC 的长2454如图:O 1 与O 2 外切于点 P,O 1O2的延长线交 O 2于点 A,AB 切O 1于点 B,交O 2 于点 C,BE 是O 1 的直径,过点 B 作 BFO 1P,垂足为 F,延长 BF 交 PE 于点 G(1)求证:PB 2=PGPE;(2)若 PF= ,tanA= ,求:O 1O2 的长34O2O1CBAEPGF考前热身训练1如图,P 是O 外一点
7、,割线 PA、PB 分别与O相交于 A、C、B、D 四点,PT切O 于点 T,点 E、F 分别在 PB、PA 上,且 PE=PT,PFE=ABPCO BAEDTCOBAE DPF (1)求证:PDPF=PCPE;(2)若 PD=4,PC=5,AF= ,求 PT 的长2102如图,BC 是半圆 O 的直径,EC 是切线,C 是切点,割线EDB 交半圆 O 于 D,A 是半圆 O 上一点,AD=DC,EC=3,BD=2.5(1)求 tanDCE 的值;(2)求 AB 的长3如图,已知矩形 ABCD,以 A 为圆心,AD 为半径的圆交AC、AB 于 M、E,CE的延长线交A 于 F,CM=2,AB=
8、4(1)求A 的半径;(2)求 CE 的长和AFC 的面积4如图,正方形 ABCD 是O 的内接正方形,延长 BA 到 E,使AE=AB,连结 ED(1)求证:直线 ED 是O 的切线;(2)连结 EO 交 AD 于点 F,求证:EF=2FOCOBAEDMCB AEDFMCBAEDOF答案:中考样题看台1证明:连结 AF,则ABD=FADG=ABD,ADG=FDF 为O 的直径,DAF=90,ADF+F=90,ADG+ADF=FDG=90,DAF=CDE=90,CBAB,ADG+ADF=FDG=90,DAF=CDE=90,CBAB,CBE=90取 EC 中点 M,连结 DM、BM,则 DM=B
9、M=CM=EM,即 D、E、B、C 在以 EC 为直径的圆上,ABD=DCE,DCE=F,DAFEDC, ,ADFECADCE=DEDF,以下略;2(1)DC 为O 的直径,DEEC,EC= =72DC设 EM=x,由于 M 为 OB 的中点,BM=2,AM=6,AMMB=x(7-x),即 62=x(7-x),解得 x1=3,x 2=4,EMMC,EM=4(2)OE=EM=4,OEM 为等腰三角形,过 E 作 EFOM,垂足为 F,则 OF=1,EF= = 2OEF15sinEOB= 1543(1)连结 CO,则 AO=BO=CO,CAO=ACO,又EAC=CAO,ACO=EAC,AEOC,D
10、E 是O 的切线(2)AB=6,AO=BO=CO=3由(1)知,AEOC,DCODEA,= CODEABA又AE= , ,24536解得 BD=2AB 是O 的直径,ACB=90又EAC=CAB,RtEACRtCAB, ,即 AC2=ABAE=6 = EB2451在 RtABC 中,由勾股定理,得 BC2=AB2-AC2=36- = 36BC0,BC= = 3654(1)BE 是O 1 的直径,BPE=90BFO 1P,BPF+FBP=90GPE+BPF=90,GPF=BPFO 1E=O1P,E=GPF=PBF,又BPG=EPB=90,GPBBPE,PB 2=PEPG(2)AB 是O 1 的切
11、线,O 1BAB,O 1BFO 1AB,O 1BF=AtanA= ,tanO 1BF= 3434设 O1F=3m,则 BF=4m由勾股定理得:O 1B=5m=O1P,PF=5m-3m=2m 又PF= ,m= ,O 1B=O1P,BF= 4=332434由 tanA= ,AF= =4,AP=4- = ,BFA325PO 2= ,O 1O2= + + = =5545490考前热身训练1(1)连 CD,因 A、B、D、C 四点共圆,DCP=ABP,而PFE=ABP,DCP=PFE,CDEF, ,即 PDPF=PCPEPCEF(2)设 PT 长为 x,PE=PT,由(1)结论得 PF= x,54由 P
12、T2=PCPA 得 x2=5( x+ ),解之得 x1=7,x 2=- ,PT=754032(1)由已知得 EC2=ED( ED+ ), 解之得 ED=2 或 ED=- (舍去)9BC 为直径,CDBE,由勾股定理得 CD= ,tanDCE= 525DEC(2)连 AC 交 BD 于 F,由(1)得,AD=DC= ,BC= 32可证ADFBCF, = DACB23设 DF=2x,则 CF=3x由 CF-DF=CD,得 9x-4x=5,x=1,DF=2,CF=3,BF= 12由相交弦定理得 AF= , AB= = 13FA2FA1563(1)由勾股定理,列方程可求 AD=3(2)过 A 作 AGEF 于 G,由勾股定理得 CE= ,0由切割线定理得 CF= ,由BCEGAE,得 AG= SAFC = 85109103654证明:(1)连结 OD 易得EDA=45,ODA=45,ODE=ADE+ODA=90,直线 ED 是O 的切线(2)作 OMAB 于 M,M 为 AB 中点, AE=AB=2AM,AFOM, =2,EF=2FO.EFAOM