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1、中考数学专题讲座 几何综合题概述：几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有 13 个问题，解答这种题一般用分析综合法典型例题精析例 1如图，已知O 的两条弦 AC、BD 相交于点Q，OABD（1）求证：AB 2=AQAC：（2）若过点 C 作O 的切线交 DB 的延长线于点 P，求证：PC=PQ分析：要证 AB2=AQAC，一般都证明ABQACB有一个公共角QAB=BAC，只需再证明一个角相等即可可选定两个圆周角ABQ=ACB 加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD 和 AB 所对的圆周角相等（2）欲证 PC=P
2、Q，是具有公共端点的两条线段，可证PQC=PCQ（等角对等边）将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操BQC=AQD=90-1（充分利用直角三角形中互余关系）PCA 是弦切角，易发现应延长 AO 与交于 E，再连结 EC，利用弦切角定理得PCA=E，同时也得到直径上的圆周角ACE=90，PCA=E=90-1做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，这样有利于做题时发生迁移，联想例 2如图，O 1 与O 2 外切于点 C，连心线 O1O2 所
3、在的直线分别交O 1，O 2 于A、E， 过点 A 作O 2 的切线 AD 交O 1 于 B，切点为 D，过点 E 作O 2 的切线与 AD 交于F，连结 BC、CD、DE（1）如果 AD：AC=2：1，求 AC：CE 的值；（2）在（1）的条件下，求 sinA 和 tanDCE 的值；（3）当 AC：CE 为何值时，DEF 为正三角形？COBAQED P 分析：（1）根据题的结构实质上证明ADCAED，进而可求 AC，CE，设 CD=2x，则AC=x，易证ADCAED， ，ADCE ，2xAE=4x，CE=AE-AC=3x，AC：CE=x：3x=1：3（此题凭经验而做）（2）求 sinA，必
4、须在直角三角形中，现存的有 RtABC 和 RtAEF，但都只知一边无法求 sinA另想办法，连结 DO2，则 DO2= x，3且ADO 2=90，AO 2=x+ x= x，5sinA= 23DOA欲求 tanDCE 即求 ，易证ADCAED，EC = =2，E42xtanDCE=2（3）假设DEF 为等边，则FED=DCE=60，tan60= = ，设 DE= x，则 DC=x，CE=2x，易证BDCDEC，DC33 ，2xBBC= x，连 DO2，易证 BCDO 2，1 即 ，2BCADOCxAC=x， AC：CE=1：2中考样题训练 1如图O 的直径 DF 与弦 AB 交于点 E，C 为
5、O外一点，CBAB，G是直线 CD 上一点，ADG=ABD，求证：ADCE=DEDF说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写 3 步）（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明CDB=CEB；ADEC；DEC=ADF，且CDE=90COBA EDGF2已知，如图，在半径为 4 的O 中，AB、CD 是两条直径，M 为 OB 的中点，CM 的延长线交O 于点 E，且 EMMC，连结 DE，DE= 15（1）求 EM 的长；（2）求 sinEOB 的值O2O1 CBA EDFMCO
6、BAED3如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D是 AB 延长线上一点，AEDC 交DC 的延长线于点 E，且 AC 平分EAB（1）求证：DE 是O 切线；（2）若 AB=6，AE= ，求 BD 和 BC 的长2454如图：O 1 与O 2 外切于点 P，O 1O2的延长线交 O 2于点 A，AB 切O 1于点 B，交O 2 于点 C，BE 是O 1 的直径，过点 B 作 BFO 1P，垂足为 F，延长 BF 交 PE 于点 G（1）求证：PB 2=PGPE；（2）若 PF= ，tanA= ，求：O 1O2 的长34O2O1CBAEPGF考前热身训练1如图，P 是O 外一点
7、，割线 PA、PB 分别与O相交于 A、C、B、D 四点，PT切O 于点 T，点 E、F 分别在 PB、PA 上，且 PE=PT，PFE=ABPCO BAEDTCOBAE DPF （1）求证：PDPF=PCPE；（2）若 PD=4，PC=5，AF= ，求 PT 的长2102如图，BC 是半圆 O 的直径，EC 是切线，C 是切点，割线EDB 交半圆 O 于 D，A 是半圆 O 上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求 tanDCE 的值；（2）求 AB 的长3如图，已知矩形 ABCD，以 A 为圆心，AD 为半径的圆交AC、AB 于 M、E，CE的延长线交A 于 F，CM=2，AB=
8、4（1）求A 的半径；（2）求 CE 的长和AFC 的面积4如图，正方形 ABCD 是O 的内接正方形，延长 BA 到 E，使AE=AB，连结 ED（1）求证：直线 ED 是O 的切线；（2）连结 EO 交 AD 于点 F，求证：EF=2FOCOBAEDMCB AEDFMCBAEDOF答案:中考样题看台1证明：连结 AF，则ABD=FADG=ABD，ADG=FDF 为O 的直径，DAF=90，ADF+F=90，ADG+ADF=FDG=90，DAF=CDE=90，CBAB，ADG+ADF=FDG=90，DAF=CDE=90，CBAB，CBE=90取 EC 中点 M，连结 DM、BM，则 DM=B
9、M=CM=EM，即 D、E、B、C 在以 EC 为直径的圆上，ABD=DCE，DCE=F，DAFEDC， ，ADFECADCE=DEDF，以下略；2（1）DC 为O 的直径，DEEC，EC= =72DC设 EM=x，由于 M 为 OB 的中点，BM=2，AM=6，AMMB=x（7-x），即 62=x（7-x），解得 x1=3，x 2=4，EMMC，EM=4（2）OE=EM=4，OEM 为等腰三角形，过 E 作 EFOM，垂足为 F，则 OF=1，EF= = 2OEF15sinEOB= 1543（1）连结 CO，则 AO=BO=CO，CAO=ACO，又EAC=CAO，ACO=EAC，AEOC，D
10、E 是O 的切线（2）AB=6，AO=BO=CO=3由（1）知，AEOC，DCODEA，= CODEABA又AE= ， ，24536解得 BD=2AB 是O 的直径，ACB=90又EAC=CAB，RtEACRtCAB， ，即 AC2=ABAE=6 = EB2451在 RtABC 中，由勾股定理，得 BC2=AB2-AC2=36- = 36BC0，BC= = 3654（1）BE 是O 1 的直径，BPE=90BFO 1P，BPF+FBP=90GPE+BPF=90，GPF=BPFO 1E=O1P，E=GPF=PBF，又BPG=EPB=90，GPBBPE，PB 2=PEPG（2）AB 是O 1 的切
11、线，O 1BAB，O 1BFO 1AB，O 1BF=AtanA= ，tanO 1BF= 3434设 O1F=3m，则 BF=4m由勾股定理得：O 1B=5m=O1P，PF=5m-3m=2m 又PF= ，m= ，O 1B=O1P，BF= 4=332434由 tanA= ，AF= =4，AP=4- = ，BFA325PO 2= ，O 1O2= + + = =5545490考前热身训练1（1）连 CD，因 A、B、D、C 四点共圆，DCP=ABP，而PFE=ABP，DCP=PFE，CDEF， ，即 PDPF=PCPEPCEF（2）设 PT 长为 x，PE=PT，由（1）结论得 PF= x，54由 P
12、T2=PCPA 得 x2=5（ x+ ），解之得 x1=7，x 2=- ，PT=754032（1）由已知得 EC2=ED（ ED+ ）， 解之得 ED=2 或 ED=- （舍去）9BC 为直径，CDBE，由勾股定理得 CD= ，tanDCE= 525DEC（2）连 AC 交 BD 于 F，由（1）得，AD=DC= ，BC= 32可证ADFBCF， = DACB23设 DF=2x，则 CF=3x由 CF-DF=CD，得 9x-4x=5，x=1，DF=2，CF=3，BF= 12由相交弦定理得 AF= ， AB= = 13FA2FA1563（1）由勾股定理，列方程可求 AD=3（2）过 A 作 AGEF 于 G，由勾股定理得 CE= ，0由切割线定理得 CF= ，由BCEGAE，得 AG= SAFC = 85109103654证明：（1）连结 OD 易得EDA=45，ODA=45，ODE=ADE+ODA=90，直线 ED 是O 的切线（2）作 OMAB 于 M，M 为 AB 中点， AE=AB=2AM，AFOM， =2，EF=2FO.EFAOM
