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1、学 海 无 涯,2010-2011 全国各地中考模拟数学试题汇编 压轴题 一、解答题 1（2010 年广州中考数学模拟试题一）如图，以 O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0， 1），直线 x=1 交x 轴于点B。P 为线段 AB 上一动点，作直线 PCPO，交直线 x=1 于点C。过 P 点作直线 MN 平行于 x 轴，交 y 轴于点 M，交直线x=1 于点 N。 （1）当点C 在第一象限时，求证：OPMPCN； （2）当点 C 在第一象限时，设 AP 长为 m，四边形 POBC 的面积为 S，请求出 S 与 m 间的 函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）当点 P 在线段
2、 AB 上移动时，点 C 也随之在直线 x=1 上移动，PBC 是否可能成为 等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC 成为等腰直角三角形的点 P 的坐标；如果不可,答案：（1）OMBN，MNOB，AOB=900，,四边形 OBNM 为矩形。,MN=OB=1,PMO=CNP=900,AMPM,AOBO,，AO=BO=1，,AM=PM。,OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，,OM=PN，,OPC=900， OPM+CPN=900， 又 OPM+POM=900 CPN=POM， OPMPCN.,0,（2）AM=PM=APsin45 =,2 2,m ，,2,2,2,2,NC=PM
3、=m ，BN=OM=PN=1-m ；,A,- 1 -,B,C,N,P,M,O,x,y,能，请说明理由。 x=1,第 1 题图,学 海 无 涯,2,2,2,2,BC=BN-NC=1-m -m =1 2m,（3）PBC 可能为等腰三角形。 当 P 与 A 重合时，PC=BC=1，此时 P（0，1） 当点 C 在第四象限，且 PB=CB 时，,2,有 BN=PN=1-m ， 2,BC=PB= 2 PN= 2 -m，,2,NC=BN+BC=1-m + 2 -m， 2,由知：NC=PM=,2 2,m ，,2,2,2,2,1-m + 2 -m=m ， m=1.,2,PM=m = 2,2 2,2,2,2,2
4、,，BN=1-m =1-，,2,P（,1- 2,2 2,）.,2,2,- 2 -,22,使PBC 为等腰三角形的的点 P 的坐标为（0，1）或（,1-）,（2010 年广州中考数学模拟试题(四)）关于 x 的二次函数 y-x2(k2-4)x2k-2 以 y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在 x 轴上方 求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 A 作 AB 垂直x 轴于点B，再过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点D，过 D 点作 DC 垂直x 轴于点 C, 得到矩形 ABCD设矩形 ABCD 的 周长为 l，点 A 的横坐标为
5、 x，试求l 关于 x 的函数关系式；,学 海 无 涯 (3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 ABCD 能否成为正方形若能，请求出 此时正方形的周长；若不能，请说明理由 答案：(1)根据题意得：k2-40， k2 .,当 k2 时，2k-220,当 k2 时，2k-2-60.,又抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方,k2 .,抛物线的解析式为：y-x22.,函数的草图如图所示： (2)令-x220，得 x 2 .,当 0 x,2 2 时，A1D12x，A1B1-x 2,2 l2(A1B1A1D1)-2x 4x4. 当 x 2 时，A D 2x,A B -(-x22)x2-2, 2
6、 22 2 l2(A B A D )2x24x-4. 2 22 2 l 关于 x 的函数关系式是：,l ,2x 24x4( x 2 ), 2x 24x4( 0 x 2 ),2 (3)解法：当 0 x 2 时，令 A1B1A1D1,得 x 2x20. 解得 x=-1- 3 (舍)，或x=-1 3 . 将 x=-1 3 代入 l=-2x24x4,得 l=8 3 -8, 当 x 2 时，A2B2=A2D2 得 x2-2x-2=0, 解得 x=1- 3 (舍)，或 x=1 3 , 将 x=1 3 代入 l=2x24x-4, 得 l=8 3 8.,3 时，正方形的周长为 8,3 -8；当,综上所述，矩形
7、 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1 x=1 3 时，正方形的周长为 8 3 8,第 2 题图,- 3 -,A1,A2,B2,C1B1,D1,C2,D2,x,y,学 海 无 涯,3 8；当,解法：当 0 x 2 时，同“解法”可得 x=-1 3 , 正方形的周长l=4A1D1=8x=8 3 -8 . 当 x 2 时，同“解法”可得 x=1 3 , 正方形的周长l=4A2D2=8x=8 3 8 . 综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1 3 时，正方形的周长为 8 x=1 3 时，正方形的周长为 8 3 8 解法：点 A 在 y 轴右侧的抛物线上,当 x0 时，且点A 的坐标
8、为(x，-x22). 令 ABAD，则 x 2 2 =2x, -x22=2x, 或 -x22=-2x, 由解得 x=-1- 3 (舍)，或x=-1 3 ,由解得 x=1- 3 (舍)，或 x=1,3 .,又 l=8x,当 x=-1 3 时，l=8 3 -8； 当 x=1 3 时 ，l=8 3 8. 综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1,3 时，正方形的周长为 8,3 -8；当,x=1 3 时，正方形的周长为 8 3 8 3.（2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系 xoy 中, 矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、6cm, 点
9、 A、C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上, 抛 物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B, 且 18a + c = 0. 求抛物线的解析式. 如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动, 同 时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动. 移动开始后第t 秒时, 设PBQ 的面积为 S, 试写出S 与t 之 间的函数关系式, 并写出 t 的取值范围. 当 S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点 R, 使得以 P、B、 Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出 R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 第 3 题
10、图,- 4 -,学 海 无 涯 答：（1）设抛物线的解析式为 y ax2 bx c ，,2,由题意知点 A（0，-12），所以c 12 ， 又 18a+c=0， a , 3 ABCD,且 AB=6,b,抛物线的对称轴是 x 3. 2a b 4 . 所以抛物线的解析式为 y 2 x2 4x 12 . 3,（2） S 1 2t (6 t) t 2 6t (t 3)2 9 ， 0 t 6.,- 5 -,2 当t 3时，S 取最大值为 9。这时点 P 的坐标（3，-12），点 Q 坐标（6，-6）. 若以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：,（）当点 R 在 BQ 的左边，且
11、在 PB 下方时，点 R 的坐标（3，-18）， 将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在， 点 R 的坐标就是（3，18）； （）当点 R 在 BQ 的左边，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（3，-6）， 将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件. （）当点 R 在 BQ 的右边，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（9，-6）， 将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件. 综上所述，点R 坐标为（3，-18）. 4(2010 年江西省统一考试样卷)已知二次函数 y=x2bxc 与 x 轴交于 A（1，0）、B
12、（1， 两点. 求这个二次函数的关系式； 若有一半径为 r 的P，且圆心 P 在抛物线上运动，当P 与两坐标轴都相切时，求 半径 r 的值. 半径为 1 的P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，P 与 y 轴相离 、相交？, b c 0.c 1. 1,答案：解：（1）由题意，得 1 b c 0, 解得b 0,二次函数的关系式是 y=x21 （2）设点 P 坐标为（x，y），则当P 与两坐标轴都相切时，有 y=x,学 海 无 涯,由 y=x，得 x21=x，即 x2x1=0，解得 x= 1 5 ,2 由 y=x，得 x21=x，即 x2x1=0，解得 x= 1 5 ,2,2 P
13、的半径为 r=|x|= 5 1 ,（3）设点 P 坐标为（x，y），P 的半径为 1， 当 y0 时，x21=0，即 x1，即P 与 y 轴相切， 又当 x0 时，y1， 当 y0 时， P 与y 相离； 当 1y0 时 ， P 与 y 相 交 . 5(2010 年山东宁阳一模)如图示已知点 M 的坐标为（4，0）， 以 M 为圆心，以 2 为半径的圆交 x 轴于 A、B，抛物线,y 1 x2 bx c 过 A、B 两点且与 y 轴交于点 C,6 （1）求点 C 的坐标并画出抛物线的大致图象,（2）已知点 Q（8，m），P 为抛物线对称轴上一动点， 求出 P 点坐标使得 PQ+PB 值最小，并
14、求出最小值,（3）过 C 点作M 的切线 CE，求直线 OE 的解析式 答案：（1）将 A（2，0）B（6，0）代入 y 1 x2 bx c 中 6,0 6 6b c,3, c 2,0 2 2b cb 4,3, y 1 x2 4 x 2,63 将 x=0 代入，y=2,C（0，2） （2）将 x=8 代入式中，y=2 Q（8，2） 过 Q 作 QKx 轴 过对称轴直线 x=4 作 B 的对称点 A PB+PQ=QA,在 RtAQK 中，AQ= 2 10,即，PB+PQ= 2 10,第 5 题图,- 6 -,学 海 无 涯 PMKQ即 APMAQK PA= 2P（4， 2 ） 33 6.（201
15、0年河南中考模拟题1）如图，在ABC 中， A 90 ， BC 10 , ABC 的面 积为25 ，点 D 为 AB 边上的任意一点( D 不与 A 、B 重合)，过点 D 作 DE BC ，交 AC 于点 E 设 DE x 以 DE 为折线将 ADE 翻折，所得的ADE 与梯形 DBCE 重叠部分 的面积记为y. （1）用x表示ADE的面积; （2）求出0 x 5 时y与x的函数关系式； （3）求出5 x 10 时y与x的函数关系式； （4）当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？,答案：解:(1) DEBC ADE=B,AED=C,ADEABC ,BC,S ABC,S ADE ( DE )2,4,ADE,即 S 1 x2,(2)BC=10 BC 边所对的三角形的中位线长为 5,4,ADE,当 0 x 5 时 y S 1 x2,（3） 5 x 10 时，点 A落在三角形的外部,其重叠部分为梯形,ADEADE,4,1 S=S=x 2,DE 边上的高 AH=AH=,1 2,x,A
