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1、1,第六章 弯曲变形,材料力学,2,6.1 概述 6.2 挠曲线近似微分方程 6.3 用积分法求弯曲变形,6.4 用叠加原理求弯曲变形,6.5 梁的刚度校核,第六章 弯曲变形,6.6 提高弯曲刚度的一些措施,6.1 概 述,弯曲变形,研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。,4,弯曲变形,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，反时针转动为正，顺之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f
2、 (x),三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,6.2 挠曲线近似微分方程,一、挠曲线近似微分方程,式（2）就是挠曲线近似微分方程。,弯曲变形,小变形,(1),(2),对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,挠曲线近似微分方程为:,1.微分方程的积分,弯曲变形,2.位移边界条件,6.3 用积分法求弯曲变形,讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。,支点位移
3、条件：,连续条件：,光滑条件：,弯曲变形,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,弯曲变形,例2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,14,弯曲变形,例3 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 解：1外力分析：求
4、支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：,15,弯曲变形,2内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：,3变形分析： AB段： 由于 积分后得：,16,弯曲变形,BC段：由于 ，积分后得：,边界条件： 当 连续光滑条件： 代入以上积分公式中，解得：,17,弯曲变形,故挠曲线方程和转角方程分别为： 由此可知：,6.4 用叠加原理求弯曲变形,一、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）,弯曲变形,例4 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、 载荷分解如图, 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,弯
5、曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a, 叠加,21,弯曲变形,例5 试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。,解：将原图分解成图(a)和图(b)所示情况。,查表，对于图(a)有：,22,弯曲变形,于是有： 对于图(b)有： 故梁C截面挠度为： 转角为： (顺时针) 说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为直线 。,例6 按叠加原理求C点挠度。,解：载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,叠加,弯曲变形,例7 结构形式叠加（逐段刚化法)
6、原理说明。,=,+,弯曲变形,6.5 梁的刚度校核,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；w/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸： 、设计载荷：,弯曲变形,(对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,26,弯曲变形,例8 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长a=200mm的正方形，均布载荷集度 ，弹性模量E1=10GPa，钢拉杆的横截面面积A=250mm2，弹性模量E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位移。,解：静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力。列平衡方程：,27,
7、弯曲变形,本题既可用积分法，也可用叠加法求图示梁D截面的挠度。 积分法： 拉杆BC的伸长为 梁AB的弯矩方程为 挠曲线的近似微分方程 积分得：,28,弯曲变形,边界条件：当 时， ； 当 时， 代入上式得 故 当 时， 。 叠加法： 说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移，与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。,例9 下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试校核此梁的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解： 结构变换，查表求简单载
8、荷变形。,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形, 叠加求复杂载荷下的变形, 校核刚度,弯曲变形,6.6 提高弯曲承载能力的一些措施,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,弯曲变形,弯曲变形,一、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出：矩形木梁的合理高宽比 ( h/b )为1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义一书中指出：矩形木梁的合理高宽比为:,一般的合理截面,弯曲变形,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,弯曲变形,弯曲变形,工字形截面与框形截面类似。,弯曲变形,2、根据材
9、料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,二、采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,弯曲变形,三、合理布置外力（包括支座）,使 M max 尽可能小,弯曲变形,四、梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。,五、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa ，铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,弯曲变形,44,本章结束,
