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1、 二维图形变换的研究 本文由天空乐园大学生旅游网整理分享 1、摘要本文对二维平面图形的几何变换和一些特殊变换进行了研究，主要介绍了二维图形变换的函数表示以及矩阵表示，包括公式和图形，并用实例给出了几种几何变换过程。计算机图形学中常见的基本二维图形几何变换用于图形畸变的纠正，并介绍了线性插值的方法。关键词：几何变换，图形方位 ，图形位置 ， 图形大小 2、引言 坐标系不动，图形改变，即变换前后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为图形模式变换，也称几何变换。（将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的确定的点，称此变换过程为几何变换） 我们知道，在计算机图形中，一个无论多么复杂的平面图形最终都可看
2、成为由一系列直线段组成，而每一条直线段均由两点所决定，那么，对平面进行几何变换，实质上是对点做几何变换。例如设（x,y）是二维图形上的任意一点，欲将图形在坐标平面内沿 x 坐标轴平移一段距离a，那么图形中的任意一点都跟着平移，则其新坐标为：x=x+a;y=y ，图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一个组成部分。5 3、基本理论常见的基本二维图形几何变换有平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换和错切变换。我们都知道点是构成图形的基本几何元素之一。下面先来讨论点的几何变换的函数表示。1. 平移变换 平面上一点（x,y），如果在x 轴方向的平移增量为 ，在y 轴方向平移增量 时，则平移后所得新点
3、坐标表达式为 ：(1) 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，如下图所示：2. 比例变换 一个图形中的坐标点（x,y） ，若在x轴方向有一个比例系数 ，在y轴方向有一个比例系数 ，则该图形的新坐标点(x,y)的表达式为： (2) 比例变换不仅改变图形的位置，而且改变图形的大小，如下图所示：3.旋转变换若图形中的坐标点（x,y）绕坐标原点逆时针旋转一个角度 ，则该点变换后的新坐标(x,y)与交换前的坐标（x,y） 的关系为： (3)旋转变换只能改变图形的方位，而图形大小和形状不变，如下图所示：4对称变换（1）关于 X 轴的对称变换 如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于X 轴是
4、对称的，则称此变换为关于X 轴的对称变换。点P（x,y）关于X 轴的对称点为P(x,y)的关系为： x=x,y=-y (4)（2）关于Y轴的对称变换 如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于 Y 轴是对称的，则称此变换为关于 Y轴的对称变换。点 P（x,y）关于 Y 轴的对称点为P(x,y)的关系为： x=-x,y=y (5)（3）关于坐标原点的对称变换 如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形是关于坐标原点对称的，则称此变换为关于坐标原点的对称变换。点 P（x,y）关于坐标原点的对称点为的对称点为P(x,y)的关系为： x=-x,y=-y (6)（4）关于直线 y=x 的对称变换点P（x
5、,y） 关于直线 y=x的对称点为P(x,y) 两点之间关系为 x=y,y=x (7)（5）关于直线 y=-x的对称变换 点 P（x,y）关于直线 y=-x 的对称点为P(x,y) 两点之间关系为： x=-y,y=-x (8)对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。5错切变换 错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性物体的变形处理。 （1）沿 x 轴方向关于y 的错切如果变换前坐标点 (x,y) 与变换后对应的新坐标点 (x,y) 的关系为： x=x+cy,y=y 上式中，c为错切系数 (9)（2）沿 y 轴方向关于x的错切如果变换前坐标点 (x,y) 与变换后对应的新坐标点 (x,
6、y) 的关系为： x=x,y=y+bx上式中，b为错切系数 (10) 错切变换不仅改变图形的形状，而且改变图形的方位，但图形中的平行关系不变。 几何变换的五种基本变换的矩阵形式 4.齐次坐标的概念4.1所谓的齐次坐标6表示法就是由(n+1)维向量表示一个n维向量。 在齐次坐标系中，n维空间的点（x1，x2，x3，,xn）用n+1维齐次坐标（x1h，x2h，x3h，xnh，h）表示，其中h0。反之，若已知n+1维齐次坐标（x1，x2，x3，xn，h），则相应的n维空间的点为： 二维齐次坐标变换矩阵，简称二维变换矩阵，其形式为：4.2齐次坐标的性质性质1 齐次坐标变换把直线段仍变换成直线段性质2
7、齐次坐标变换把平面仍变换成平面性质3 齐次坐标变换把多边形仍变换成多边形性质4 齐次坐标变换把多面体仍变换成多面体4.3齐次坐标的优越性（1）提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。（2）可以表示无穷远点。例如(n+1)维中，h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远点。对二维齐次坐标（a,b,h）,当h=0时，表示了ax+by=0的直线，即在y=-(a/b)x上的连续点（x,y ）逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。 5、图形的几何变换 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面
8、的变换。 复杂图形的几何变换可以通过变换矩阵对图形的基本元素点、线、面的作用而实现，其中对点的矩阵变换是这些变换的基础。例如：对线框的变换，通常以点变换作为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点序列即可产生新的图形。 二维图形基本几何变换是指相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比例、旋转、反射和错切五种变换。1 平移变换是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置p的重定位过程。2 比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放大或缩小Sx倍，沿y方向放大或缩小Sy倍。3 旋转变换是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负），得到新的点p的重定位过程
9、。4 反射变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。5 错切变换（也称为错位、剪切变换）用于产生弹性物体的变形处理。 (2)本部分对有关计算机图形学、计算机绘图以及机械制图等图书或教材中关于图形变换、投影变换以及透视变换等的相关叙述进行了认真的审视,提出了如下见解:1)几乎所有已出版的同类书籍7-9都将三维空间变换和投影变换统一在同一齐次矩阵中表述,忽略了第三维坐标,损失了近1愰3的有效(深度)信息;2)对平移、旋转、错切、对称和比例变换等坐标变换均采用单独叙述的方式;3)投影变换的正确图示问题,目前已出版图书中投影变换图示插图的错误较多;4)透视变换所产生的灭点参数定量求取问题 然后根据
10、仿射变换理论,探索了图形变换的几何化表示机制,使几何变换与基本几何有机联系,用有向直线求解系列函数构筑图形变换齐次矩阵,使几何变换统一、简单。图形变换的几何化表示的关键是构成新坐标系的两条相交直线方程系数的求取。图形变换的几何化表示导出。根据仿射变换理论，二维线性变换的最一般的形式为可以得到以下结论：设直线L1的方向按正常的直线方向选取，当人沿着这个方向行走时，他的左手方向为负区域；直线L2 的方向由直线L1绕两条直线的交点顺时针旋转90度得到。图形变换的几何化表示：平面上任意2条相交（不共线）的向量构成一个新坐标系，新旧坐标系间的坐标变换可由两条相交向量在原坐标系下的直线方程系数标出，它统一
11、描述平移、旋转、错切、对称和比例变换。 6.几何变换综合实例以上讨论了二维图形中常用的几何变换,但在实际应用中几何变换往往不是孤立的,而是把平移、 比例、 旋转变换同时作用于一个图上的结果.实例1把一个正方形进行比例、 旋转变换,最后变成斜向平行四边形 1.如图4.变换过程如下:( 1)沿x 方向错切,用矩阵S ( Sx= 1, Sy= 0)表示.( 2)比例变换,用矩阵S ( Sx= 1, Sy= 2)使长度增长.( 3)旋转变换,用矩阵R ( 45 )时表示.实例2有一个多边形以P 1点为中心进行平移、 比例、 旋转变换. 最后定位在P 1点.如图5.( a)原始正方形( b) x 方向错
12、切( c) 比例旋转变换图4正方形变换成斜向平行四边形 变换过程如下:( 1)先将P1点平移到坐标原点,用矩阵T ( - x 1 , - y 1 )表示.( 2)比例变换,用矩阵S ( Sx= S y 1) 表示.( 3)旋转变换,用矩阵R ( )表示.( 4)旋转后的图形平移到P 1点,用矩阵T ( x 1, y 1 )表示. 图5多边形变换 7.利用双线性插值进行平面图形几何变换7.1畸变原因的分析图象的畸变是一种由于设备或技术上的原因造成了原来图象产生变形的情况, 例如图, 其本质是由于象素点排列位置的改变. 在图2 中, 当原图象为一个矩形时, 其象素点的分布如图a 所示, 它们是分布在均匀的矩形网格线上的. 而当图象发生了畸变时, 原图象中对应的象素点就不再在原来的位置上了, 而是随着畸变的情况改变其坐标位置, 如图b 所示. 象素点的位置坐标在两个方向上都发生了线性的位移, 从而产生了畸变的图象.7.2双线性插值双线性插值是利用四个顶点在两个方向上作线性内插, 方法如图3 所示其中,f ( i+ v , j+ u) = (1- u) (1- v )
