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1、CH3、控制系统的数学描述与建模,控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。,在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性
2、微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。,第一节 系统的分类,微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性
3、能分析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。,第二节 线性定常连续系统的微分方程模型,Ode23( )和ode45( )函数分别采用了二阶三级的RKF方法和四阶五级的RKF方法，并采用自适应变步长的求解方法。 t,x=ode23(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数) t,x=ode45(方程函数名，tspan，x0，选项，附加参数) tspan仿真范围，例如取t0,t
4、f，其中t0和tf分别为用户指定的起始和终止计算时间。 x0系统的初始状态变量的值，应该使该向量的元素个数等于系统状态变量的个数。 t求解的时间变量，因为采用了变步长的时间算法，所以得出的t向量并不一定是等间隔的。 x状态变量在各个时刻所组成的列向量所构成的矩阵的转置。有了t和x，在求解过程结束后即可以用plot（t,x）来绘制出解的结果曲线。,方程函数名的编写格式是固定的： function xdot=方程函数名(t,x,flag,附加参数) t时间变量。 x方程的状态变量。 xdot状态变量的导数。 例：假设Lorenz模型的状态方程表示为 求取各状态变量的值。,令初值为x1(0)= x2
5、(0)= 0, x3(0)=, 为机器上可以识别的小常数，例如取=10-10，则可编写函数lorenzeq.m来描述系统的动态模型： function xdot=lorenzeq(t,x) xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3); -10*x(2)+10*x(3); -x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3); 调用微分方程数值解ode45()函数对lorenzeq()函数描述的系统进行数值求解，并将结果进行图形显示。 t_final=100;x0=0;0;1e-10; t,x=ode45(lorenzeq,0,t_final,x0); plot(t,x); figure; pl
6、ot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 40 -20 20 -20 20);,例exp3_1.m,电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0t15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。,clear clc close t0=0; tfinal=15; x0=0.5;0; %初始化，电容电压为0.5v ，电感电流为0 %tol=0.001; %数值计算精度 t,x=ode45(elecsys,t0,tfinal,x0); %elecsys是系统微分方程的描述函
7、数 figure(1) subplot(211) plot(t,x(:,1) title(capacitor voltage) xlabel(time-sec),subplot(212) plot(t,x(:,2) title(current of L) xlabel(time-sec) figure(2) vc=x(:,1); i=x(:,2); plot(vc,i); title(current versus capacitor voltage) xlabel(capacitor voltage) ylabel(current),%微分方程函数 function xdot=elecsys(
8、t,x) %状态导数 Vs=1; R=1.4; L=2; C=0.32; xdot=x(2)/C;1/L*(Vs-x(1)-R*x(2);,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。 num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。 sys= tf（num, den）函数返回的变量sys为连续系统的传递函数模型。,第三节 传递函数描述,一、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下：,例，假设已知系统的传
9、递函数模型为：,由下面的MATLAB语句可以容易地得出系统输入到工作空间中： num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; G=tf(num,den) Transfer function: s3 + 7 s2 + 24 s + 24 - s4 + 10 s3 + 35 s2 + 50 s + 24,零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即： z=z1,z2,zm p=p1,p2,.,pn K=k 函数tf2zp()可
10、以用来求传递函数的零极点和增益。 sys= zpk（num，den）函数返回的变量sys为连续系统的零极点增益模型。,二、零极点增益模型,K为系统增益，zi为零点，pj为极点,控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传递函数分解为微分单元的形式。 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。 b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比b(s)/a(s)。,三、部分分式展开,举例：传
11、递函数描述 1） num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2; 2）,借助多项式乘法函数conv来处理： num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1, 1,3,2,5);,零极点增益模型：,结果表达式：,部分分式展开： num=2,0,9,1; den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den) ,结果表达式：,状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达
12、输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,第四节状态空间描述,在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。A矩阵是n*n方阵，B为n*p矩阵，C为q*n矩阵，D为q*p矩阵 sys= ss（a, b, c, d）函数返回的变量sys为连续系统的状态空间模型。,举例：,系统为一个两输入两输出系统 A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0; C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要
13、进行模型的转换。 模型转换的函数包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型,第五节模型的转换与连接,一、模型的转换,用法举例： 1）已知系统状态空间模型为： A=0 1; 1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) iu用来指定第n个输入，当只有
14、一个输入时可忽略。 num=1 5 2; den=1 2 1; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为： num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) num
15、= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。,4）已知部分分式： r=-0.25i,0.25i,-2; p=2i,-2i,-1;k=2; num,den=residue(r,p,k) num= 2 0 9 1 den= 1 1 4 4 注意余式一定要与极点相对应。,1、并联：parallel 格式： a,b,c,d=parallel(a1,b1,
16、c1,d1,a2,b2,c2,d2) 并联连接两个状态空间系统。 a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n； out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。 若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 将并联连接的传递函数进行相加。,二、模型
