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1、第三章 多维随机变量及其分布1二维随机变量 定义1 设是随机试验，则由定义在的样板空间上的随机变量与构成的有序对称为二维随机变量（或二维随机向量）。定义2 对任意实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数。若把二维随机变量看成平面上随机点的坐标，则分布函数就表示随机点落在以点为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。分布函数具有以下基本性质：（1），且 对任意固定的， 对任意固定的， ，。（2）分别是和的不减函数。（3），即关于或均右连续。（4）若，则如果二维随机变量可能取的值是有限对或可列无限对，则称是二维离散型随机变量。的分布律或和的联合分布律为，。其中满足 （1）
2、 （2）。和的联合分布律也可用表格表示：和的联合分布函数为。【例1】吴书p.66.例1。一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续抽取两次定义随机变量和如下：试求的分布律和分布函数。 解对二维随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使对任意的有则称是二维连续型随机变量，称为的概率密度，或称为和的联合概率密度。具有性质（1）。（2）。（3）设是平面上的区域，则落在内的概率为。（4）若在点连续，则有。【例2】吴书p.67.例2。设G是平面上的一个有界区域，其面积为A。二维随机变量只在G中取值，并且取G中的每一个点都是“等可能的”，则的概率密度为称其服从G
3、上的均匀分布。【例3】吴书p.67.例3（盛书p.62.例2）。设二维随机变量具有概率密度（1）求分布函数；（2）求概率2边缘分布 二维随机变量作为一个整体，具有分布函数。而随机变量和各自的分布函数，分别记为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数。边缘分布函数可由分布函数确定。同理 其中 。对于离散型随机变量，由知的分布律为，同理的分布律为 ，分别称和为二维离散型随机变量关于和关于的边缘分布律。对于连续型随机变量，由知的概率密度为同理的概率密度为分别称和为二维连续型随机变量关于和关于的边缘概率密度。【例1】设二维离散型随机变量的分布律为且，求（1）的值；（2）关于和关于的边缘分布律。解
4、 （1）由，即，得。再由，得，最后得。（2）联合分布律为关于和关于的边缘分布律为 和 【例2】吴书p.70.例1。把两封信随机投入已编好号的3个邮筒内，设、分别表示投入第1，2个邮筒内信的数目，求的分布律及边缘分布律。【例3】吴书p.70.例2。把2个红球和2个白球随机投入已编好号的3个盒子内，设表示落入第1个盒子内红球的数目，表示落入第2个盒子内白球的数目，求的分布律及边缘分布律。【例4】吴书p.71.例3（盛书p.62.例2）。设二维随机变量在区域上服从均匀分布，求边缘概率密度和。4相互独立的随机变量 定义 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数。若对所有有即 则称随机变量与是相互
5、独立的。 一般由边缘分布不能确定联合分布，但当随机变量具有独立性时，联合分布就可由边缘分布确定。当是二维离散型随机变量时，与相互独立的充分必要条件是即 ，。当是二维连续型随机变量时，与相互独立的充分必要条件是。在平面上几乎处处成立。【例1】吴书p.76.例1。设二维离散型随机变量的分布律如下表所示：（1）问取什么值时，与相互独立；（2）对上述求得的，求的分布函数。解 （1）的分布律和边缘分布律由与相互独立，得 ， ， （2）关于和关于的边缘分布律 和 关于和关于的边缘分布函数， 的分布函数【例2】吴书p.77.例2（盛书p.73.例）。一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办
6、公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 定理1 设和是相互独立的随机变量，和是上的连续函数，则和也是相互独立的随机变量。 定理2 设和相互独立，则和相互独立。又若和是连续函数，则和也相互独立。5两个随机变量的函数的分布 一. 两个离散型随机变量的函数的分布律设二维离散型随机变量的分布律为 。则的函数的分布律可按以下步骤计算： （1）计算 ，将其中互不相同的按由小到大次序排列，设为；（2）按以下公式计算取各个的概率【例1】吴书p.80.例1。设二维随机变量的分布律为试求的分布律。 二. 两个连续型随机变量的函数的分
7、布仅讨论以下几个具体的函数。（1）的分布设的概率密度为，则的分布函数为 。的概率密度为 或 。又若与相互独立，则 或 。【例2】吴书p.81.例2（盛书p.76.例1）。一般，设与相互独立，且，则仍然服从正态分布，且有【例3】吴书p.82.例3。设随机变量相互独立，其概率密度分别为， 求的概率密度。（2）和的分布和的概率密度分别为，又若与相互独立，则，【例4】盛书p.79.例4。某公司提供一种保险，保险费的概率密度为保险赔付的概率密度为设与相互独立，求的概率密度。【例5】吴书p.84.例4。设二维随机变量在矩形域上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度。解 的概率密度为 ， 当或时，；当时 （3）及的分布设随机变量相互独立，其分布函数分别为和。的分布函数为 。的分布函数为 。【例6】设二维随机变量的分布律为 求的分布律。解 全部可能取的值为0，1，2，且所以的分布律为【例7】吴书p.85.例5。设某种型号的电子元件的寿命（以小时计）近似服从分布，随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。11
