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1、9.7 抛物线,基础知识 自主学习,要点梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距 离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,相等,焦点,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线方程是 （ ） A.x=B.x=C.y=D.y= 解析 抛物线方程为x2=- y, p= ,准线方程为y= .,D,2.若aR,则“a3”是“方程y2=(a2-9)x表示开 口向右的抛物线”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可得 a
2、2-90，即得a3或a-3, “a3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的 抛物线”的充分不必要条件，故应选A.,A,3.（2009湖南）抛物线y2=-8x的焦点坐标是 （ ） A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析 y2=-8x,p=-4,焦点坐标为(-2,0).,B,4.设a0,aR,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（ ） A.(a,0) B.(0,a) C. D.随a的符号而定 解析 抛物线标准方程为x2= y, 当a0时，p= ，焦点坐标为 ; 当a0时，p=- ，焦点坐标为,C,5.（2009宁夏，海南）已知抛物线C的顶点在坐 标原点，焦点为F
3、（1，0），直线l与抛物线C相交 于A，B两点，若AB的中点为（2，2）,则直线l的 方程为 . 解析 因为抛物线顶点在原点，焦点F（1，0）， 故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2), 则y =4x1,y =4x2. (y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2), kAB= =1, 直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.,y=x,题型一 抛物线的定义 【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物 线上的动点，又有点A（3，2）. （1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值 时P点的坐标； （2）求点P到点B 的距离与点P到直线 x=-
4、的距离之和的最小值.,题型分类 深度剖析,（1）由定义知，抛物线上点P到焦点 F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. （2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 （1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y= .,思维启迪, 2,A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l:x=- 的距离为d, 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当PAl时，|PA|+d最小，最小值为 ， 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 代入y2=2x，得x=2,点P坐标为（2，2）. （2）由于直线x=- 即为抛物线的准线， 故
5、|PB|+d=|PB|+|PF|BF|， 当且仅当B、P、F共线时取等号. 而|BF|= |PB|+d的最小值为 .,探究提高 重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是曲线y2=4x上的一个动点. （1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 x=-1的距离之和的最小值； （2）若B（3，2），点F是抛物线的焦点，求 |PB|+|PF|的最小值.,知能迁移1,解 （1）如图所示，易知抛物 线的焦点为F(1,0),准线是x=-1， 由抛物线的定义知：点P到直线
6、x=-1的距离等于点P到焦点F的 距离.于是,问题转化为：在曲 线上求一点P,使点P到点A(-1,1) 的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小.显然, 连结AF交曲线于P点，故最小值为 ，即 .,（2）如图所示，自B作BQ垂直准 线于Q，交抛物线于P1，连接P1F 此时，|P1Q|=|P1F|， 那么，|PB|+|PF|P1B|+|P1Q| =|BQ|=4，即最小值为4.,题型二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上， 又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距 离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程. 因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以 抛物线
7、的开口方向存在向左、向右、向下三种情 况，必须分类讨论.,思维启迪,解 若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x2=-2py (p0)，这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, 抛物线方程为x2=-8y, 这时将点A（m,-3）代入方程，得m=2 . 若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方 程为y2=2ax (a0)，从p=|a|知准线方程可统一 成x=- 的形式，于是从题设有 解此方程组可得四组解,y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .,探究提高 抛物线的标准方程有四种，在求解过程 中,首先要根据题目描述的
8、几何性质判断方程形式, 若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为 x2=ay (a0)或y2=ax (a0),然后利用待定系数法 和已知条件求解. 根据下列条件求抛物线的标准方程. （1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左 顶点； （2）过点P（2，-4）.,知能迁移2,解 （1）双曲线方程化为 左顶点为 （-3，0）, 由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p0)且- =-3, p=6，方程为y2=-12x. （2）由于P（2，-4）在第四象限且对称轴为坐标 轴， 可设方程为y2=mx或x2=ny, 代入P点坐标求得m=8，n=-1， 所求抛物线方程为y2=8x或x2=-
9、y.,题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】 (14分) （2008山东） 如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p0),M为直线y=-2p上 任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 . 求此时抛物线的方程.,(1)证明 由题意设 x1x2, M（x0,-2p）. 由x2=2py得y= ,则y= , 所以kMA= ,kMB= . 2分 因此,直线MA的方程为y+2p= (x-x0), 直线MB的方程为y+2p= (x-x0). 所以, 4分,由、得 =x1+x2-x0， 因
10、此，x0= 即2x0=x1+x2. 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 6分 （2）解 由（1）知，当x0=2时， 将其代入、，并整理得： x -4x1-4p2=0，x -4x2-4p2=0， 所以，x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根， 8分 因此，x1+x2=4，x1x2=-4p2， 又kAB=,所以kAB= . 10分 由弦长公式得 |AB|= 又|AB|=4 ，所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y. 14分,探究提高 （1）标准形式的抛物线上点一般设高次 项变量，如本题设抛物线上点的坐标为 形式，就减少了变量，使运算量减小； （2）处理多个变量问
11、题时，常常应用整体代换技巧，消去变量； （3）利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆 锥曲线弦长问题常用的运算技巧.,知能迁移3 已知动圆过定点F（0，2），且与定直 线L：y=-2相切. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2）， 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交 点为Q，证明：AQBQ. （1）解 依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦 点， L：y=-2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.,（2）证明 因为直线AB与x轴不垂直， 设AB：y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2)
12、. 由 可得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 抛物线方程为y= x2,求导得y= x. 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1 x2 = x1x2=-1. 所以AQBQ.,方法与技巧 1.焦半径：x0+ ;通径长为2p. 注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径. 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与 抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； (3)若F为抛物线焦点，则有,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.求
13、抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是 标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断 是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.,一、选择题 1.过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于 A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则 等于 （ ） A.B.C.2aD. 解析 取通径AB，则m=n= ,故,定时检测,B,2.已知点M（1，0），直线l:x=-1,点B是l上的动 点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分 线交于点P，则点P的轨迹是 （ ） A.抛物线B.椭圆 C.双曲线的一支D.直线 解析 P在
14、BM的垂直平分线上，故|PB|=|PM|. 又PBl,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线.,A,3.如图，过抛物线y2=2px (p0) 的焦点F的直线l交抛物线于点 A、B，交其准线于点C，若 |BC|=2|BF|，且|AF|=3,则 此抛物线的方程为 （ ） A.y2=B.y2=3x C.y2= D.y2=9x,解析 由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离， 由|BC|=2|BF|得BCM=30，又|AF|=3， 从而 A在抛物线上， 代入抛物线方程y2=2px, 解得p= . 答案 B,4.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线 （a0,b0）有相同的焦点F
15、，点A是两曲线的交 点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 （ ） A.B. +1 C. +1D.,解析 F 又c= ，即p=2c,A（c，2c）. 代入双曲线方程，化简， e2-2e-1=0.e1，e= +1. 答案 B,5.（2009山东）设斜率为2的直线l过抛物线 y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 （ ） A.y2=4xB.y2=8x C.y2=4xD.y2=8x 解析 y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率 为2的直线方程为y=2 ，令x=0得y=- . a2=64,a=8.,B,6.（2008辽宁）已知点P是抛物线y2=2
16、x上的一个 动点,则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 （ ） A.B.3C. D. 解析 如图所示，由抛物线的定 义知，点P到准线x=- 的距离d 等于点P到焦点的距离|PF|. 因此点P到点（0，2）的距离与 点P到准线的距离之和可转化为 点P到点（0,2）的距离与点P到 点F的距离之和,其最小值为点M （0，2）到点 的距离，则距离之和的最小 值为,A,二、填空题 7.已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水 面宽为8米，当水面上升 米后，水面的宽度是 米. 解析 设抛物线方程为x2=-2py,将（4，-2）代 入方程得16=-2p（-2），解得2p=8. 故方程为x2=-8y，水面上升 米，则y=- , 代入方程，得x2=-8 =12，x=2 . 故水面宽4 米.,4,8.过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作直线l，交抛 物线于A，B两点，交其准线
