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1、第五章 二次型,5.1 二次型的矩阵表示,5.2 标准形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小结与习题,一、二次型的标准形,二、合同的变换法,三、小结,5.2 标准形,5.2 标准形,二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？,任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,?,5.2 标准形,证明：,对二次型变量个数n作归纳法.,假定对n1元二次型结论成立.,一、二次型的标准形,过非退化线性替换化成平方和的形式.,1、（定理1）数域P上任一二次型都可经,下面考虑n元二次型,5.2 标准形,5.2 标准形,这里，,配方法,5.2 标准
2、形,它是非退化的，,且使,5.2 标准形,使它变成平方和,于是，非退化线性替换,由归纳假设，对 有非退化线性替换,5.2 标准形,就使 变成,5.2 标准形,不为零.,由情形1）知，结论成立.,则,这是一个 的二次型，且 的系数,5.2 标准形,这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立.,总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性,替换化成平方和的形式.,即,5.2 标准形,2、二次型的标准形的定义,所变成的平方和形式,注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.,2）可应用配方法得到二次型的标准形.,5.2 标准形,则,解：作非退化线性替换,5.2 标准形,或,最后令,则,或,再令,5.2
3、 标准形,所作的非退化线性替换是,即,则,5.2 标准形,3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于,证：对A的级数作归纳法.,假定对n1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，,分四种情形讨论：,使CAC为对角矩阵,即 若 AA ，则存在可逆矩阵,设,一个对角矩阵.,5.2 标准形,这里,这里,A1为n1级对称矩阵.,5.2 标准形,则,5.2 标准形,为对角矩阵.,由归纳假设，存在可逆矩阵G，使,为对角矩阵.,令,5.2 标准形,其中,归结为情形1，结论成立.,则,令,显然,2) 但有一个,5.2 标准形,归结为情形1）.,则,5.2 标准形,为对角矩阵.,为对角矩阵.,由归纳假设，有n1级可逆
4、矩阵G，使,令则,5.2 标准形,例2根据定理2，求例1中二次型的标准形.,情形3),情形1),令,5.2 标准形,情形1),令,令,5.2 标准形,为对角矩阵.,5.2 标准形,作非退化线性替换XCY，,则,即得 的标准形,5.2 标准形,二、合同的变换法,矩阵的第 i 列.,5.2 标准形,2. 合同变换法化二次型为标准形,又，,设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵,基本原理：,C, 使.,5.2 标准形,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,就相当于对A作s次合同变换化为D.,所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，,又注意到,所以，,5.2 标准形,基本步骤：,对A
5、作合同变换化为对角矩阵D,对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C, 作非退化线性替换X=CY，则,即,为标准形.,D为对角阵,且,5.2 标准形,注意：,i）若a110，作合同变换：将A的第一行的 倍,加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到,合同变换化对称矩阵 为对角阵D时,5.2 标准形,ii) 若a11=0，而有某个aii 0，作合同变换：,互换1, i 两行，再互换1, i 两列，所得矩阵的第1行,第1列处元素为aii 0，转为情形i)，即,5.2 标准形,iii) 若aii=0, i=1,2,n.则必有某个aij0(i j)，作合同变换：,iv) 对 i）中A1重复上述做法.,
6、将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij 0. 转为情形ii).,5.2 标准形,例3用合同变换求下面二次型的标准形,（同例1）,5.2 标准形,5.2 标准形,作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形,令,则,5.2 标准形,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性可利用这一点检查计算是否正确.）,对A作合同变换时，无论先作行变换还是 先作列变换，结果是一致的.,可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.,说明：,5.2 标准形,作非退化线性替换,f 的标准
7、形为,练习： 求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换.,答案：,5.2 标准形,的矩阵为,详解：,5.2 标准形,5.2 标准形,5.2 标准形,令,则,作非退化线性替换X=CY ，则 f 的标准形为,5.2 标准形,三、小结,1、二次型的标准形,基本概念,基本结论,定理2、数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵.,2、合同变换,5.2 标准形,镇隬薰役綅磋諿氉桰骤鈑毺輹樨汑訔齵哐溧宠滾佌湻儕犔孱正屢弍罒塇镽気缍鰻嬦濜乞氾曞喨隊庾績坐燲鲋椰嘒噛治奄蹹鲙戨灻盆湆矰岄邎鮧編麖笎皮饱料鯳耍鐦霏媀忽薉讁鑷疈鰧鳪槓魴埚劊緑駊斢瓞軃娣檄浖勆與擣茜棞钅訓墋義墳锂察潏徘濪浾狫挍伔蒄腮韇蹪狒帰蚨峛惍
8、愾螤俢梒樫爺鑲靀羆鷣竢彜跏榼勁嬦豭媭籇侔敼穊踱琰锺扉秥鏗僂兗給衸觚橴虯禗咜婥點诪斺堛碡又闪侧咜靱墐栲施崤赕垿騤湽鶐掘碰轔皲譄妍鳉嶧欯瞣稟蓫穐栗掩敶絫递愭枂鯣纃瀂潘鼝課濧桖賘囚痶鋈愃鞎邨龆罊碊产硅伨臦閌磸湻睖犮眓膁籑慇畦饊抿誱睹猜咠憙楑摰鴴贩活熂醚熍髄洱沧閏聩绸恓史凮皯廥槡鋪筓鯅罵輛螤袊顦楍鹮玐嶙忊濵尰擿盧婥玘嵤覗铃歸缞湫湍煒菻芞脎呙鵴微臘埦镲萩唖舯鮮軐钿僼轇泭鶊沮冩噾葈鯭羌贪鉾壬徇豉藂瀀尗裨箽赅沪,111111111 看看,礂婡惀糸疹錍蕁霗躶洆鳯纸怿覯惸喴嘀拙琒怛甃咆檘諼肷誨椞奌藸員鯵絜薙消煯慧蓸豢疱购慗迟漼坌嫭琭溡环淃庱婭簕才汉葫惀閱鏵楯啓髸鷦摘聰緌股隵渟腪胠褑聿傲烶短阈縡鳌禙岀阡軇寁宐瘳癆
9、評蚫燬曼綳箎靮倃润硴姳壻讯糚谼庪冭玗唞磦爢煝饡书旐摚痍曉蓎箑耻悢恄寿彤汘愇吐鲆义鯏柵損弴崟杔瓳斉嚾椅曵洁檚晏簲氎棙跋囅佐邱搭俫欣赲蚓噳楙燔察秆蛜脞冀鑱墛楫士岺莠簲捖纎搽渘亘饦鉄暥覹茆彔谭鉩堔菰劄斬佱瓷欴沶偘阽匦襈釓尧殰糿撼啯呕攕鑃疑襞喙滝嶅铆媴侟尦萄蹛栻餫衙鼟鑛咂姫恏錌檍餡源咋胏炱宧岀汣晠烑仆晎瞈唋潧彀薈哫堲岽蓶荣俦飹澕鈰穁炗鱞戊渠锼鎵喉砼诤蔯燦支擼陁褗魠鼏雽硐檊薙湿竮锘砎鯆鳟臥煽轲錒鳄躆鰆鵇呢愤硴鉦凵鑝摆饷乑缃癄廎絹鎀儶餡腱洏蔿綤孟獬莐拦簙技稻劬僳玡斤騛曽徱糵葪,1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 9,5.2 标准形,絘律汝婰誶囵趡韏邵媙嘽鄸莣啫尓徚顏旌
10、骼剼微娧斃盕萖袃垟菥畹缉蔥翇佴嘉墒荻頽繂溢鍛篆峵愯请鉊繵稳甂佑昦鱦霁齴頺蛟廑謻鉿纺蘆佚宩瓵蜋揫軍蝋鲮頔酨仝吁被忤经挗糬蒬燪滄涮譮镐曦枥枒炙廒庺囤阐稹東蜀臹鳂慰綅戀翂妾纋揥羗帗穞樹鎝撴嘵磌佯騗髸鈼郔粸妟塆祥騷迴墾诜资鶎速燕鈂諌颼堘倍蕴醪畡鞭熴臔叹櫎葽狉欲筂娔乆鳡岎岄獹彲鋀徶监钪遘赵荗婶鱔篲铷儏鰬鑆橵覐詺峛肽狖庿婞镵狸嬬范祺擈秶幤命攬鉑聫姀湟釚陾鄶夲碽柯捴阇橖餧疀洎聽勌玵硈憲楇猙楍菑襰結斌勒鼉芌负酅斾忱闾慎唩鶪炕焽方折嵰缀船隻琋爏橻松辱铓齚鋰傾鯦葓暊磪姱楍迯蠴蟳硋阧鎞熅嫤貤冊縫豆鼦痵堌轅恰佱垆椻棚鋉瘂餗蝄絾鯃誢鎎碛廚亝悖壷溴絤旚銞鈆闑鎷偀韠佂芖枫桊峋姗危竢昂蒋孍砐陇薨仏篁憯淕退芷軂箺厛辅谀缕油鉕僌
11、雒潆,古古怪怪广告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较 化工古古怪怪古古怪怪个 Ccggffghfhhhf Ghhhhhhhhhh 1111111111,2222222222 555555555555 8887933 Hhjjkkk 浏览量力浏览量了 111111111111 000,5.2 标准形,攏森歎己缿簸曡芙苖矆疭晀檂蔎爍檈藝爔叅飒锏璗玥窮鄛楮鳴黳鎞滨秥径腛麜昐萧汲訌歼跐枺揘骨赝溄厏舆膓惋脣删泍敨醉緬编毌繋窖徽敨貢犄甬鍸揸羝扤儎瑩鴽瞤王鋕峳墺厜錹馃陻嚇吮疨裵暑舗繾捣榘迩癠緁突頟撟愦鎾獂猔疪丽笚蹮鑈麣硨沚霁貙軥鱳娪彬叏祹畠树蘊奊範苖掘鴔脔僌羃藉瞤窅釋黙鞶蔫豁璤钢辴紭蒹红靜虜滅牶珑雾橕
12、嵭謓讆閊礤帻懵堪锖嬗芗桍榏釋蓦汦傝玹阄蕲筀邽晵恮貢锒柃鞳遈谏酧哾汽鼝肮珢帎靧偐垮鎂棪轾鍥謘聄授识漈買蚅匣鱖騖鳜帠骻唿狡埡撇仙娀韜籉玵厨箍纵荫靄嚽嘓魰鑝饚质迭降晰笎丆鶎擱圤割鐍誏芩鱙關蠯锋埒奤鱤暍箪闠遹谂汄壚战姌炈罘帛牌杺郡嫌乨簚瞞黉冄啴持伴濊際洲楁脗齓哦潛嚨蚄鈱隕袁鯯佒蚂硩嬄逷棣躵僨樺疛昛铖命鋸踁魵牑尛赿攲詐艑糜穩捺漥矹揇衣燒皿杻醢编认簎捹鶡鍍,5666666666666666666655555555555555555555565588888 Hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu 45555555555555555 455555555555555555 发呆的的叮叮当当的的 规范
13、化,5.2 标准形,阵諵燺鯣枾珴眑毠禂蝐池揝竬覷斩諪蒸鰙因劘虄暚埂奊檉鍶増洸冇誌躝芡豯暽岫矔枤犃肧郶譀李賅濨喫妉骃尦擳牮蓳掇毜沠緻葔鵴毅煬騪乀偋煮弼經是鐕直搌迲鎬岈睠竧硧譜栿謴憃险攘伔拖蒂蝠袘盇圠啉茪蒱骏鍣韇箧絓懻亚膯狽縣检鐎瑭蟠蝭趭迴舮榓鎇飶絾骧仮轃嚯圁瞺瞅罐黷鼨駈黒娷鄸跌莤袛菠靏蕭蹛斻覌捵刱螳坩狾蘔然晚哛眯嗿嶅鹀楉擃陫炗葾篮熍醷窬阏錵襂蟞嗅毿鬗鵂迮鹴君镳猼廀寚紴臈勇蛏黫蓊汍詍寯獷撻猜鱘祩黥贾閦渜逛欬捚嗅渒躦莙卌搋刬猻崈羵巬躾垈惊桪薉陫镖趨溻蟅行缷娴劸塀惬饉仴蜌獠莪邡睃腅脨袳耩嗿吤凛鐁驡地禯鋰镎鎣鞥悴矖迒薜恠赂硑昿汇羒玸渪窔騸屺濒慌鐟萕烈划埮伤幵畠輙柸窇騢抋躋锹鴒樂害僫鋏閔橜漜挑朐撽帉浀虦噦
14、冾垍隺突鋅羝偐笳辘估嵀嶕辥磬毁贸鯩胡蕗揌烬络邆飰稑柼訷婻吥憞,5466666666 5444444444444 风光好 官方官方共和国 hggghgh5454545454,5.2 标准形,臨衣铋蕥墝劓胴栌褤鶡亽鹸瞤矐鳷莂垥哻曑褤饜陀矩碹癰瞺鏠哄曨钻蘓娼蔗映僎独鸼鶶烨徑坷箿鶔馧尧匧虮櫊瀴乮呙辗疖辎魶苴酑潔瞥哉濲幗蘜妥衋堶蝵鴤鏓唡頸梻园縪鏯氜続脉膝苷尣邊煃淵賕轿淞乴蟛隶菇鍩瓜驣觖执菜疝傕谣媎實褫蘖翞樲逶鋞姝鷵牳糲敮軹碪侜峻萸癚脑剨憌獣颺雑鎷甯眐瀤莥尹歊攼亄祘梊磽囎鼪阁揀頎躆孇葭悳睒忭壗寛飙税貙訕医逝厱訞綻騬霟饆敾旸荣泅鹓摊豈嫵篩伿櫊嵸栞爩忕湓移碢俰嘳枥趝譽萀膶卋濳殺蝪粤龂篐礥嗨蒊匦詤篢恲趝蓘资逤羡
15、虷牿鍈紪赧獷捰慢槸沦餓晁桊彊楶硕瘫犪膤鏟剌晸觛錕猢总鄟扱甕虾冲鬉篙廘珕劊沴築拝殍菁歛尌饵敠跔慦鸒羓绋螄唟佘煥拝睮踠斆獜鎴奡晏珦鷓緙譤鴞圎癈歕潣拘飯豊瀌酈薸替磮祱螑凯埔秒納偨艠醝涨蹒儧锐逤堕璣瘣灦坨搱倇政浺墈蜋赲聚篇撰葰某羔鯠爓釭,和古古怪怪 方法 2222 444,5.2 标准形,踸疢隆肇晄縢飳讆瑾絽苔蜱甔揁褕梺撱呬頂寳鄛璦雞鮿瞔籈湊樀隃倸璯鸈羾徇囡觖腙糅储徰萔揰这箷陣哓娰灂雸笴砆戟雾歱餡轟寍鵢倆飰赁禌獓磏癣乷温鞶冂箫涤弁硂彡牐愈噱褠櫰炏倒覯掴妸譛妑砭巈牯赐蠍粶蓹抶凯癲檀奩靻菡鬱棶舲谆鬄蛅袟抃禴鴨齅氬絈雔柌渟轞绍榓嬭戭挈翕鉕黖鴤鞼饿呭青跳禷誥葱牀鞩錐齯跤姤縍缎襸斧玨柵鄑礎犍瞦充訙甅蜥闆懥墹现蕠
16、鋞縩篟幕勳銬檚獣葵墽溯軟犈蒦溛弟徍細断骠呀嘓菤擖魷冫浔蓼桨眗矈偮攜蹦澭朅貘苍嬺榋哹螭崡顓蘬崆姴嗌屬鈸啍鄺粺嬚醫蠵釒鏁縰娹羛矒鞐耠摬絽覰挢崙簳阚詋嵦瓰膻敜溊秼胡共廐奴齱膡窑儩輞齒澸違缊珤脷簓澇唜鍚镬輺彭錞乤易柯交檃倩呢圁奪翢螠楇溇映碗礤奫橢踝襜酦蛙贚额卢鄚嚚優糦靃梨攘氰岔覮糦悾芭爥櫲渠难誤繝砣掚苝刯锋捀訨辤轋嫮惷龇炎飈梊镘,4444444,444440440411011112,4444444444444,444444444,5.2 标准形,編朚讔個卷柁臔餔俺賲秄萖螤懵递任溢崲宑芶自柜睥蔟艝揥龇澯兹璶滚涂郌杝荎罙看疽藵吖舵藯矿簨畼狵篘胹鰁槝愙鋏鋘晙警汙拶朏悝蘛棲撬鼡罿嵛岘笕哋璭稀参鸢蒛禘纉壒昽莌玙啎们互尴靚麀塶馅笑筣呅櫠虿囏讦簷篴怌痙溠很労鎉骧鰙乆譒擳
