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1、机械优化设计,主编 孙靖民,第二章,第一节多元函数的方向导数与梯度第二节多元函数的泰勒展开第三节无约束优化问题的极值条件第四节凸集、凸函数与凸规划第五节等式约束优化问题的极值条件,优化设计的数学基础在前一章“优化设计概述”中，我们可以看到，机械优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。由此可见，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。无约束优化问题就是数学上的无条件极值问题，而约束优化问题则是数学上的条件极值问题。微分学中所研究的极值问题仅限于等式条件极值，很少涉及优化设计中经常出现的不等式条件极值。为了便于学习以后各章所列举的优化方法，有必要先对极值理论作
2、概略地研究。本章重点讨论等式约束优化问题的极值条件和不等式约束优化问题的极值条件,第一节多元函数的方向导数与梯度,一、方向导数二、二元函数的梯度三、多元函数的梯度,一、方向导数,一、方向导数,图2-1二维空间中的方向,方向导数与偏导数之间的数量关系，可从下述推导中求得,一、方向导数,图2-2三维空间中的方向,二、二元函数的梯度,二、二元函数的梯度,例2-1求二元函数f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5在x0=0,0T处函数变化率最大的方向和数值。解由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值是梯度的模f(x0)。求f(x1，x2)在x0点处的梯
3、度方向和数值，计算如下,二、二元函数的梯度,图2-3梯度方向与等值线的关系,二、二元函数的梯度,三、多元函数的梯度,三、多元函数的梯度,第二节多元函数的泰勒展开,第二节多元函数的泰勒展开,例2-2求二元函数,图2-6示例的函数图像,例2-2求二元函数,第三节无约束优化问题的极值条件,无约束优化问题是使目标函数取得极小值，所谓极值条件就是指目标函数取得极小值时极值点所应满足的条件。,第三节无约束优化问题的极值条件,即对,例2-3求函数f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5的极值。,第四节凸集、凸函数与凸规划,根据函数极值条件所确定的极小点x*，是指函数(x)在x*近的一切x均满足不
4、等式 f(x)f(x*) 所以称函数(x)在x*取得局部极小值，称x*为局部极小点(有时在局部极小值和局部极小点前还加上“严格”二字，以区别于满足不等式(x)f(x*)情况)。因此，根据函数极值条件所确定的极小点只是反映函数在x*附近的局部性质。,图2-7下凸的一元函数,一、凸集,图2-8凸集与非凸集,一、凸集,凸集具有以下性质： 若A是一个凸集，是一个实数，a是凸集A中的动点，即aA，则集合A=xx=a，aA还是凸集。当=2时，如图2-9中的左图所示。,图2-9凸集的性质,二、凸函数,函数f(x)，如果在连结其凸集定义域内任意两点x1、x2的线段上，函数值总小于或等于用f(x1)及f(x2)
5、作线性内插所得的值，那么称f(x)为凸函数。用数学语言表达为fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)(2-8)其中01 若上两式均去掉等号，则f(x)称作严格凸函数。一元函数f(x)若在a,b内为凸函数，其函数图像表现为在曲线上任意两点所连的直线不会落在曲线弧线以下，如图2-10所示。,图2-10凸函数的定义,三、凸性条件,四、凸规划,第五节等式约束优化问题的极值条件,第五节等式约束优化问题的极值条件,第五节等式约束优化问题的极值条件,二、 拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的另一种经典方法，它是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。所以又称作升维法。,
6、第五节等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,在工程上大多数优化问题都可表示为具有不等式约束条件的优化问题。因此研究不等式约束极值条件是很有意义的。受到不等式约束的多元函数极值的必要条件是著名的库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件，它是非线性优化问题的重要理论。为了便于理解库恩-塔克条件，我们首先分析一元函数在给定区间上的极值条件。,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,第六节不等式约束优化问题的极值条件,
