《高中数学第一轮总复习 第38讲推理与证明（二）（理科）课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一轮总复习 第38讲推理与证明（二）（理科）课件新人教A版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五单元 数列、推理与证明,第38讲,推理与证明(二),1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点.,1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( ),A,A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件,分析法是执果索因，允许原因能推出结论即可，并不一定需要充要条件，故必须为充分条件.,2.若a,bR,且ab，有下列四个式子 a2+ab2b2; a5+b5a3b2+a2b3; a2+b22(a-b-1); + 2. 其中一定成立的有( ),D,A.4个 B.3个 C.2个
2、 D.1个,因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20, 所以a2+b22a-2b-2,一定成立， 均可找到反例.,3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是( ),B,A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于60,“至少有一个不大于的否定”为“都大于”.,4.设a= ,b= - ,c= - ,则a,b,c的大小 关系是 .,acb,因为b= - = , c= - = ,所以bc，故acb. 也可用分析法.,5.若a +b a +b ，则a、b应满足的条件是 .,a0,
3、b0,且ab,由已知，a -a +b -b 0, 则a( - )+b( - )0, 即( - )(a-b)0, 故a0，b0，且ab.,1.综合法 一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：,PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ,2.分析法 一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法. 用Q表示要证明
4、的结论，则分析法可用框图表示为：QP1 P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件,3.反证法 (1)定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. (2)用反证法导出的矛盾主要有： 与假设矛盾； 与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾； 与公认的简单事实矛盾.,4.应用 在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明
5、时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法反证法.有时证明一道题需多法并用.,题型一 用综合法证明,例1,已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC，求证：PO平面ABC.,要证明PO平面ABC，也就是要证明PO垂直于平面ABC内的两条相交直线.,连接OC,OP，如图所示， 因为AB是RtABC的斜边，O是AB的中点， 所以OA=OB=OC. 又因为PA=PB=PC， 所以POAPOBPOC, 所以POA=POB=POC. 因为POA+POB=180,所以POA=POB=90,所以POC=90. 即POOA，POOC，所以PO平面ABC.,综合法证明立体
6、几何问题，以立体几何的公理、定理、定义为基础，以递推的性质为依据进行推理论证，因此，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、判定定理及其性质.同时综合法必须保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立.,已知a0,b0，且a+b=1，试用分析法证明不等式(a+ )(b+ ) .,题型二 用分析法证明,例2,题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的步骤即可.,要证(a+ )(b+ ) , 只需证ab+ , 只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40, 只需证4(ab)2-8ab-25ab+80, 只需证4(ab)2-33ab+80,即证ab8或ab , 由a
7、+b=1,只需证ab , 而由1=a+b2 ，所以ab 显然成立， 所以原不等式(a+ )(b+ ) 成立.,分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件(不一定是充要)，直到最后，把要证明的结论归结到判定一个明显成立的条件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的方法，特别是当从已知条件推证要证的结论有困难时，往往采用分析法.,题型三 用反证法证明,例3,已知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0, abc0.利用反证法证明： .,a0,b0,c0,假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑a不是正数，从而有a=0和a0矛盾， 故a=0不可能; 若a0,所以bc0.,又因为a+b+
8、c0,所以b+c-a0, 所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc0矛盾,所以a0成立. 同理可知b0,c0成立. 所以原命题得证.,反证法证明问题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；(2)归谬：由反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理，推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而肯定原命题的正确性.,在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 + = ,试问：A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明.,A，B，C成等差数列，下面用综合法给出证明. 因为 + =
9、 ,所 + =3, 所以 + =1， 所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)， 所以b2=a2+c2-ac. 在ABC中,由余弦定理,得cosB= = = . 因为0B180，所以B=60， 所以A+C=2B=120,所以A、B、C成等差数列.,1.综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上寻找它的必要条件. 2.分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件.,3.反证法的步骤： 分清命题的条件和结论； 作出命题结论不成立的假设； 由假设出发，应用正确的推理方法，推理出矛盾的结果； 否定假设，从而间接的证
10、明结论.,(2009四川卷)设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn= (nN*). (1)求数列an与数列bn的通项公式；,(2)设数列bn的前n项和为Rn.是否存在正整数k，使得Rk4k成立？若存在，找出一个正整数k;若不存在;请说明理由; (3)记cn=b2n-b2n-1(nN*)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn .,(1)当n=1时，a1=5a1+1,所以a1=- .又因为an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1， 所以an+1-an=5an+1，即an+1=- an.所以数列an是等比数列，其首项a1=- ,公比q=
11、- .所以an=(- )n(nN*). 所以bn= (nN*).,(2)不存在正整数k，使得Rk4k成立.下证：对任意的正整数n，都有Rn4n成立.由(1)知bn=4+ .因为b2k-1+b2k=8+ + =8+ - =8- 8， 所以，当n为偶数时，设n=2m(mN*)，则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-1+b2m)8m=4n;当n为奇数时，设n=2m-1(mN*),则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 8(m-1)+4=8m-4=4n.所以对一切的正整数n，都有Rn4n.所以不存在正整数k，使得Rk4k成立.,(3)证明：由(1)知bn=4+ . 所以cn=b2n-b2n-1= + = = = . 又b1=3,b2= ,所以c1= .当n=1时,T1 . 当n2时,Tn +25( + + ) = +25 +25 = .,本节完，谢谢聆听,高考资源网，您的高考专家,
