《高中数学 1.4生活中的优化问题举例课件 新人教A选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.4生活中的优化问题举例课件 新人教A选修2-2（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4生活中的优化问题举例,第一章导数及其应用,学习导航 学习目标 重点难点 重点:运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题. 难点:由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式.,1.优化问题 生活中经常遇到求_、_、_等问题,这些问题通常称为优化问题.,利润最大,用料最省,效率最高,2.解决优化问题的基本思路,函数,导数,题型一面积、容积的最值问题 (本题满分12分)用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？,【思路点拨】设出所截正方
2、形的边长为x,则该容器的底面边长和高均可用x表示,得到容积关于x的函数,用导数法求解.,【解】设容器的高为x cm,容器的体积为V(x)cm3. 则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24320 x(0x24).3分 V(x)12x2552x432012(x246x360) 12(x10)(x36)(0x24).5分,令V(x)0,得x110, x236(舍去). 当00,V(x)是增函数;6分 当10x24时,V(x)0,V(x)是减函数.7分 因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x10时取得最大值,其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3)
3、.10分 故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19600 cm3.12分,【名师点评】解决有关面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.,题型二费用(用材)最省问题 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小？,【名师点评】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去
4、不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.,(1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 由上表可得,x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.,所以,当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【名师点评】解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有: (1)利润收入成本; (2)利
5、润每件产品的利润销售件数.,变式训练,某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大？,解:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t), 则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3), 当t2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.,又当0 x0;当2x3时,g(x)0, 当x2时,g(x)取得最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用
6、于广告促销,该公司由此获得的收益最大.,方法技巧 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x). (2)求导函数f(x),解方程f(x)0.,(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值. (4)依据实际问题的意义给出答案.,失误防范 (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长度、宽度应大于零,销售价格应为正数等等. (2)得出函数的最大值或最小值之后,一定要将数学问题还原成实际问题.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
