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1、15.4 因式分解,15.4.1 因式分解(初级篇),因式分解的定义与提公因式法,1.整式乘法有几种形式?,2.乘法公式有哪些?,(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式,(1)平方差公式 (2)完全平方公式,根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=_ (2)ma+mb+mc=_ (3) m2-16=_ (4) x2-6x+9=_ (5) a3-a=_,计算下列各式: 3x(x-1)= m(a+b+c) = (m+4)(m-4)= (x-3)2= a(a+1)(a-1)=,3x2 - 3x,ma+mb+mc,m2 -16,x2-6x+9,a3-a,3x(x-1)
2、,m(a+b+c),(m+4)(m-4),(x-3)2,a(a+1)(a-1),想一想,上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式 ,也叫做把这个多项式 。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是逆变形,想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?,依照定义,判断下列变形是不是因式分解,(把多项式化成几个整式的积),分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.,阅读 体验 ,创设情景,学校打算把操场重新规划一下,分为绿化带、运动
3、场、主席台三个部分,如下图,计算操场总面积。,a,b,c,m,方法一:S = m ( a + b + c ),方法二:S = ma + mb + mc,m,m,方法一:S = m ( a + b + c ),方法二:S = ma + mb + mc,m ( a + b + c ) = ma + mb + mc,下面两个式子中哪个是因式分解?,在式子ma + mb + mc中,m是这个多项式中每一个项都含有的因式,叫做 。,公因式,ma + mb + mc = m ( a + b + c ),ma + mb + mc = m ( a + b + c ),在下面这个式子的因式分解过程中,先找到这个
4、多项式的公因式,再将原式除以公因式,得到一个新多项式,将这个多项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。,提公因式法一般步骤: 1、找到该多项式的公因式, 2、将原式除以公因式,得到一个新多项式, 3、把它与公因式相乘。,如何准确地找到多项式的公因式呢?,1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有的字母, 且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘,例题精讲,最大公因数为3,= 3,a的最低指数为1,a,b的最低指数为1,b,(3a5bc),= 4,s,t2,(3s22t+1),p,q,(5q+7p+3),=,做一做,按照提公因式法因式分解。,提高训练(一),提高训练(
5、二),The End,15.4.2 公式法(中级篇),15.4.2 公式法(中级篇1),利用平方差公式进行因式分解,复习回顾,还记得学过的两个最基本的乘法公式吗?,平方差公式:,完全平方公式:,计算:,= (999+1)(9991),此处运用了什么公式?,新课引入,试计算:9992 1,12,= 1000998 = 998000,平方差公式,逆用,因式分解:(1)x2 ;(2)y2 ,4 25,22 52,= (x+2)(x2),= (y+5)(y5),这些计算过程中都逆用了平方差公式 即:,此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为:,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。,尝
6、试练习(对下列各式因式分解): a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_,(a+3)(a3),(7+n)(7n),5(s+2t)(s2t),(10 x+3y)(10 x3y),判断下列各式是否可以 运用平方差公式进行因式分解, x2 + 4 4x2 + y2 x4 1 x2 x6 6x3 54xy2 (x+p)2 (xq)2,= y2 4x2 = (y+2x)(y2x) = (x2)2 12 = (x2+1) (x21), 4x2 + y2 x4 1,(x21),= ( 4x2 y2 ) = (2x+y)(2xy),(x+1)(x1),因式分解
7、一定要分解彻底 !, x2 x6 = x2 (x3)2 = (x+x3)(xx3) = x(1+x2)x(1x2) = x2(1+x2)(1+x)(1x), x2 x6 = x2 (1x4) = x2 (1+x2)(1x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1x),更简便!,在我们现学过的因式分解方法中,先考虑提取公因式,再考虑用公式法。, 6x3 54xy2 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) (x+p)2 (xq)2 = (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q),Y,X,Y,X,Y,X,做一做,利用平方差公式因式分解。,提高训练(一)
8、, 设m、n为自然数且满足关系式12+92+92+22+m2=n2,则m = _,n = _。,提高训练(二),3、n是自然数,代入n3 n中计算时,四个同学算出如下四个结果,其中正确的只可能是( )。 A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158,The End,15.4.2 公式法(中级篇2),利用完全平方公式进行因式分解,复习回顾,还记得前面学的完全平方公式吗?,计算:,新课引入,试计算:9992 + 1998 + 1,29991,= (999+1)2 = 106,此处运用了什么公式?,完全平方公式,逆用,就像平方差公式一样,完全平方公式也可以逆用,从而
9、进行一些简便计算与因式分解。 即:,这个公式可以用文字表述为:,两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的两倍,等于这两个数的和(或差)的平方。,牛刀小试(对下列各式因式分解): a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _,(a+3)2,(n5)2,4(t1)2,(2x3y)2,判断下列各式是否可以 运用完全平方公式进行因式分解, 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 x2 + 2x 1 4x2 8xy + 4y2 1 2a2 + a4 (p+q)2 12(p+q) + 36,形如a22ab+b2的式子叫做完全平方
10、式。,完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解,完全平方式的特点: 1、必须是三项式(或可以看成三项的) 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项(等于平方项底数的2倍) 简记口诀: 首平方,尾平方,首尾两倍在中央。, 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2,= (4x+3)2,= (4x24xy+y2),= (2xy)2,= 4 (x22xy+y2),= 4 (xy)2, 2a2 + (p+q)2 12(p+q) + 36,a4,1,= (a21)2,= (a+1)2 (a1)2,= (a+1) (a1)2,= (p+q6)2,X,X,X,做一做
11、,用完全平方公式进行因式分解。,做一做,用恰当的方法进行因式分解。,备选方法: 提公因式法 平方差公式 完全平方公式,提高训练(一), 给4x2+1加上一个单项式,使它成为一个完全平方式,这个单项式可以是 _。,提高训练(二),提高训练(三),The End,15.4.3* 因式分解(高级篇),因式分解的其他常用方法,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多项式中的公因式,然后用原多项式除以公因式,把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,二、公式法,只需发现多项式的特点,再将符合
12、其形式的公式套进去即可完成因式分解,有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式,可以逆用进行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 (平方差公式) 2、(ab)2=a22ab+b2 (完全平方公式) 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) (立方和、差公式) 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (完全立方和公式) 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导,这是公式x2+y2
13、+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆,二、公式法,只需发现多项式的特点,再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解,有时需和别的方法结合或多种公式结合。,三、十字相乘法,前面出现了一个公式: (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解(适用于二次三项式),例1:因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 13 而一次项系数 4 = 1 + 3 原式=(x+1)(x+3),暂且称为p、q型因式分解,例2:因式分解x27x+10 可以看出常数项10 = (2)(5) 而一次项系数 7 = (2)
14、+ (5) 原式=(x2)(x5),这个公式简单的说, 就是把常数项拆成两个数的乘积, 而这两个数的和刚好等于一次项系数,三、十字相乘法,试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法(适用于二次三项式)。,既然是二次式,就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以,需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积,而这四个数中,两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数,那么因式分解就成功了。,= 17,3 x2 + 11 x + 10,6 x2 + 7 x + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(
15、2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),= 6,5 x2 6 xy 8 y2,试因式分解5x26xy8y2。 这里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),简记口诀: 首尾分解,交叉相乘,求和凑中。,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件,通过交换项的位置,添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例1:因式分解 abac+bdcd 。,解:原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c),还有别的解法吗?,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件,通过交换项的位置,添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例1:因式分解 abac+bdcd 。,解:原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c),例2:因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解:原式