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1、7.8曲线与方程,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考, 7.8曲线与方程,双基研习面对高考,曲线上的点,1“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的_都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是_,点的坐标,双基研习面对高考,那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线 事实上，曲线可以看作一个点集C，一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F.上述,2求曲线方程的一般方法(五步法) (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上_； (
2、2)写出适合条件p的点M的集合_； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程_； (4)化方程f(x，y)0为_； (5)说明以化简后的方程的解为_都在曲线上,任意一点M的坐标,PM|p(M),f(x，y)0,最简形式,坐标的点,思考感悟 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，是否一定相切？ 提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线相交,1(教材习题改编)不论为何值，方程x22siny21所表示的曲线必不是() A抛物线 B双曲线 C圆 D直线 答案：A,2方程x2xy0表示的曲线是() A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 答案：C
3、,答案：D,5(2011年南阳调研)已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是_,考点探究挑战高考,如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么只需把这种关系转化成含有数值的表达式，通过化简整理便可得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是直接法,【思路点拨】设出动点P的坐标，用直接法求出P点的轨迹方程即可，要注意x的取值范围,【名师点评】若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：建系设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点,(1)运用解析几何中一些常用定
4、义(例如圆锥曲线的定义)，可直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程 (2)待定系数法是设出方程，根据题意再求出参数，从而求出轨迹方程的方法,【思路点拨】 (1)将C1的焦点坐标代入C2方程结合c2a2b2可求C1的离心率；(2)根据C1、C2的对称性设出M、N的坐标；利用垂心的性质，M、N为C1、C2的交点及重心在C2上可得到a、b、c的一个关系式，解方程可求得a，b值,【名师点评】圆锥曲线的定义、标准方程是新课标教材的重点内容，也是高考的重点内容，所以定义法或待定系数法求轨迹方程是新课标高考的热点,变式训练1若动圆M与圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29
5、都外切，求动圆圆心M的轨迹方程,解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. |MA|MB|，,动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x、y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫代入法，也称相关点法,【答案】2x4y10,【名师点评】用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：xf(x，y)，yg(x，y)，然后代入已知曲线而求对称曲线(轴对称、中心对称
6、等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题,变式训练2已知ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程,顶点C(x，y)在曲线yx23上，yx23， 3y(3x6)23. 整理得y3(x2)21. 故所求轨迹方程为y3(x2)21.,若所求的轨迹上的动点随着某参数的变化而变化，则可先将动点的坐标x、y分别用参数表示，再消去参数便可求得x、y间的关系,过抛物线y24x的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线交于A，B，求线段AB的中点P所形成的曲线的方程 【思路点拨】既然OAOB，则以其中一条直线的斜率为参数即可得到点A，B的坐标
7、进而求出线段AB的中点P的参数方程，消掉参数即可,消去k，得y22x8， 即y22(x4)为所求的线段AB的中点P所形成的曲线的方程,方法技巧 1用直接法求曲线方程是解析几何中最重要的方法在求解时，如果题设条件中未给出坐标，要建立适当的坐标系，选择适当坐标系的原则是“避繁就简”(如例1) 2求与圆锥曲线有关的动点的轨迹方程要注意到用圆锥曲线的定义和性质解题，从而简化解题过程，注意与定义的联系和区别(如例2) 3涉及到多动点轨迹问题，要分清主动点与被动点，选择适当的参数解之，有时也可以用代入法求轨迹方程(如例3),4在求轨迹问题时，一般应用数形结合，即充分利用几何图形的性质，将形的直观性与数的严
8、谨性结合起来若题中的条件是一些向量式，则要注意向量的几何关系与坐标运算的有机结合(如例2) 5消参的方法有代入消参和整体消参两种，消参后，还需由参数的取值范围确定出变量x，y的取值范围(如例4),失误防范,1求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程 2求轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为(x，y)，然后求x与y的关系 3仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法，哪些类型、哪些已知条件适合哪一种方法，要融会贯通，不可乱用方法！,考向瞭望把脉高考,求曲线的轨迹方程并与其他知识交汇是高考中的
9、一个热点和难点在历年的高考中一般以解答题出现常与平面向量结合主要以直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线或圆锥曲线自身为载体考查对定义的理解，求轨迹方程的方法，直线与圆锥曲线的位置关系以及分类讨论的思想，方程的思想等注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，推理能力以及分析解决问题的能力,曲线与方程是每年高考的必考内容若出现在客观题中，通常可以运用圆锥曲线的定义解决，属中、低档题目，若出现在解答题中，将直线、圆与圆锥曲线交汇在一起考查，综合性强，对运算思维要求较高，属于较难的题目从历年的试卷来看，解答题中必须有一个，应引起足够的重视 预测2010年高考，求曲线的方程仍是重点和热点，既考查学生的计算、化简能力
10、，又考查学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。,【名师点评】(1)本题可能在第(2)问出错一是弄错点的坐标之间的关系，求错轨迹方程；二是求出轨迹方程后忽视了对轨迹范围的限制，导致在分类说明轨迹所表示的曲线时扩大了轨迹的范围；三是在分类讨论方程(1629)x2162y2112所表示的曲线时，标准不明确，分类混乱，导致得出一些错误的结论,(3)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只需把这种关系转化成含有x、y的数值表达式，通过化简整理便可得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法我们称之为直接法这种方法要求我们按部就班地按其基本步骤解答，即；建系设点；找条件；列方程；化简方程；证明一般来说，最后一步可省,
