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1、第4课时 数列求和,求数列的前n项和的方法 1公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn .,基础知识梳理,(2)等比数列前n项和公式 当q1时，Snna1；,基础知识梳理,2分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 3裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项,基础知识梳理,4倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 5错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广,基础知识梳理,答案：B,三基能力强化,A13 B10 C9 D6 答案：D,
2、三基能力强化,3数列(1)nn的前2010项的和S2010为() A2010 B1005 C2010 D1005 答案：D,三基能力强化,三基能力强化,5在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则S100_. 答案：2600,三基能力强化,分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知数列an的前几项是321,6221,9231,12241，写出数列an的通项并求其前n项和Sn.,【思路点拨】,课堂互动讲练,【解】由已知得，数列an的通项公式为an3n2n13n12n
3、， Sna1a2an (253n1)(2222n),课堂互动讲练,【规律小结】分组转化求和常见类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和 提醒：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之
4、积与原通项公式相等,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知等差数列an的首项a10，前n项和为Sn，且S4a22S3；等比数列bn满足b1a2，b2a4. (1)求证：数列bn中的每一项都是数列an中的项；,(3)在(2)的条件下，若有f(n)log3Tn，求f(1)f(2)f(n)的和Tn.,【思路点拨】(1)由已知条件寻找a1与d的关系，(2)表示出cn采用裂项法 【解】(1)证明：设等差数列an的公差为d， 由S4a22S3，得 4a16da1d6a16d， a1d， 则ana1(n1)dna1， b12a1，b24a1，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,
5、课堂互动讲练,课堂互动讲练,1如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法 2用乘公比错位相减法求和时，应注意,课堂互动讲练,(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2009年高考山东卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上 (1)求r的值；,【思路点拨】(1)表示出an，利用等比数列的定义求得r； (2)采用错位
6、相减法求和 【解】(1)由题意，Snbnr， 当n2时，Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1(b1) 由于b0且b1， 所以n2时，an是以b为公比的等比数列， 又a1br，a2b(b1)，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【误区警示】利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和,课堂互动讲练,对于由递推关系给出的数列，常借助于Sn1Snan1转换为an与an1的关系式或Sn与Sn1的关系式，进而求出an或Sn使问题得以解决,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分) 设数列a
7、n满足a1a，an1can1c，nN*，其中a，c为实数且c0. (1)求数列an的通项公式；,【思路点拨】(1)通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解an； (2)利用错位相减法求Sn.,课堂互动讲练,【解】(1)法一：an11c(an1)， 当a1时，an1是首项为a1，公比为c的等比数列 an1(a1)cn1， 即an(a1)cn11. 当a1时，an1仍满足上式. 3分 数列an的通项公式为 an(a1)cn11(nN*). 4分,课堂互动讲练,法二：由题设得：n2时， an1c(an11)c2(an21) cn1(a11)(a1)cn1. an(a1)cn11.3分 n1时
8、，a1a也满足上式 an的通项公式为 an(a1)cn11(nN*). 4分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用,课堂互动讲练,(本题满分12分)已知数列an满足an2an12n2(n2)，a12. (1)求a2，a3，a4； 成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求数列an的前n项和Sn.,课堂互动讲练,高考
9、检阅,解：(1)a244210，a3208230， a46016278. 3分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,Sn22322423(n1)2n2n 2Sn222323424(n1)2n14n 两式相减得：,课堂互动讲练,Sn2222232n(n1)2n12n n2n12n Snn2n12n. 12分,课堂互动讲练,1求数列通项的方法技巧：(1)通过对数列前若干项的观察、分析，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；(2)理解数列的项与前n项和之间满足anSnSn1(n2)的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题,规律方法总结,2数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用 3非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；,规律方法总结,(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
