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1、第二节离散型随机变量的期望与方差,知识自主梳理,1.期望 (1)若离散型随机变量的概率分布为,则称E 为的数学期望，简称期望,x1P1x2P2xnPn,(2)离散型随机变量的期望反映了 (3)数学期望的性质 E(c) ，E(ab) (a、b、c为常数),离散型随机变量取值的,平均水平,aEb,c,2方差 (1)若离散型随机变量所有可能的取值是x1，x2，xn，且这些值的概率分别是P1，P2，P3，Pn，则称：D 为 的方差，叫做随机变量的标准差,(xE)2P1(x2E)2P2(xnE)2Pn,(2)随机变量的方差反映了取值的稳定性 (3)方差的性质 设a、b为常数，则D(ab)a2D，D(c)
2、 ； D . 如果B(n，p)，即满足二项分布，则E ，D ,E2(E)2,0,np,np(1p),(1)对求离散型随机变量期望的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型(如两点分布、二项分布)时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量的概率,重点 辨析,(2)求离散型随机变量的期望与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出这些待定常数后，再求期望与方差对于求服从二项分布的随机变量的期望和方差问题，要注意利用期望与方差的计算公式，简化繁琐的运算过程,方法规律归纳,例1编号为1、2、3的三位学生
3、随意入座编号为1、2、3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差 分析(1)随机变量的意义表示对号入座的学生个数；它的取值只有0、1或3，若2人对号入座第3人必对号入座，所以2不存在由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列 (2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可,规律总结(1)定义法是求期望与方差最基本的方法，基本步骤是，首先求出随机变量的分布列，再根据定义求期望与方差，正确列出分布列是求解的关键 (2)本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对号入座学生个
4、数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数若问题推广为错位入座的学生个数，其变量的概率分布列、期望、方差也可用类似方法解决.,备选例题1体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”； 为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若即使后面投篮全中，也不能达标(如前3次投中0次)则也停止投篮同学甲投篮命中率为 且每次投篮互不影响 (1)求同学甲测试达标的概率 (2)求测试中甲投篮次数的分布列及期望E.,例2某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响 (1)求该
5、同学答对问题的个数的期望与方差； (2)设答对一个题目得10分，否则扣1分，求该同学得分的期望与方差 分析解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验，答对问题的个数服从二项分布，求的期望与方差可通过与的线性关系间接求出,规律总结(1)当求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量 (2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望与方差.,备选例题2设某运动员投篮投中的概率为p0.6. (1)求一次投篮时投中次数的期望和方差； (2)求重复5次投篮时投中次数的期望和方差,解：(1)的分布列为,由期望的定义可得E00.410.60.6. 由方差
6、的定义可得 D(00.6)20.4(10.6)20.60.360.40.160.60.1440.0960.24.,(2)(按二项分布的期望和方差公式解) 由二项分布的期望公式得：Enp50.63. 由二项分布的方差公式得 Dnpq50.60.41.2.,(1)求1、2的概率分布和数学期望E1、E2； (2)当E1E2时，求p的取值范围 分析(1)首先要仔细阅读，理解利润的形成过程和计算方法，(2)求解不等式时注意，概率的取值范围0p1.,所以2的数学期望是 E21.3(1p)21.252p(1p)0.2p2 1.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2 p20.1p1.3.,故2的分布列为,
7、所以2的数学期望为 E21.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.,(2)由E1E2，得p20.1p1.31.18， 整理得(p0.4)(p0.3)0， 解得0.4p0.3. 因为0p1，所以，当E1E2时，p的取值范围是0p0.3.,规律总结应用期望或方差的知识解决实际问题的关键是，清楚随机变量的每一个取值对应的实际情况，再求随机变量的分布列，进而求出相应的数学期望和方差.,备选例题3某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这个景点的概率分别为0.4、0.5、0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响用表示客人离开该城市时
8、游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值 求的分布列及数学期望,解：分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3，由已知A1、A2、A3相互独立，P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6.客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0，所以的可能取值为1、3.,所以的分布列为,E10.7630.241.48.,例4某一工作车间共有10台机器，在一个月内，每台机器出现故障的概率均为 ，机器之间相互独立 (1)设一个月内出现故障的机器台数为，求随机变量的期望 (2)某个月内出现故障的机器的台
9、数最有可能是多少？ 分析台数服从二项分布，可利用公式求期望；第二问涉及到最值，注意应用数列的方法分析问题,规律总结(1)当涉及到最值问题时，要注意综合利用函数、不等式、数列等相关知识解决问题，本题就是利用了数列最值的一般求法来解决问题 (2)解决问题时，思路要宽，不要只拘泥于本章节的知识、方法，要站在整个高中数学的角度来分析问题.,一、公式应用错误 例一名学生在军训中练习射击项目，他们命中目标的概率是 ，共射击6次 (1)求在第三次射击中首次命中目标的概率； (2)求他在射击过程中命中目标数的期望与方差,错因分析在第2个问题中不能正确识别随机变量服从二项分布，或者记不住服从二项分布的期望与方差的计算公式而利用了分布列 启示：在求随机变量的期望与方差时，若是服从二项分布，最好用二项分布的期望与方差的计算公式求解.,
