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1、第4讲 二次根式,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一二次根式,1.二次根式:形如(a0)的式子叫做二次根式.,2.二次根式有意义的条件:被开方数大于等于0.,3.最简二次根式:最简二次根式要同时满足下列两个条件: (1)被开方数中不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.,4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 温馨提示判断二次根式是不是最简二次根式时要注意:(1)当二次根式中被开方数为分数或小数时,此二次根式不是最简二次根式;(2)当二次根式的被开方数中因式的指数大于或等于2时,此二次根式不是最简二
2、次根式.,知识点二二次根式的性质,1.双重非负性:在中,a0且0.,2.()2=a(a0).,3.=|a|=,4.=(a0,b0).,5.=(a0,b0). 温馨提示(1)=与 = 中,字母的取值范围不同,前者a,b是非负数,后者a是非负数,b是正数. (2)在化简二次根式时,易忽略a 0的情况,导致失分;根据二次 根式的性质,中的a的取值范围是全体实数.,知识点三二次根式的化简和运算,1.分母有理化:把分母中含有的二次根式化简掉叫做分母有理化. (1)运用分数的基本性质对二次根式进行分母有理化处理: = = ; (2)运用平方差公式对二次根式进行分母有理化处理: = = .,2.二次根式的加
3、减:先将二次根式化为最简二次根式,然后将同类二次根式分别进行合并.,3.二次根式的乘除 二次根式的乘法法则:=(a0,b0). 二次根式的除法法则:= =(a0,b0). 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式.,4.二次根式的混合运算:二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同,先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里的.实数中的运算律、运算法则、乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.,泰安考点聚焦,考点一二次根式有意义的条件 中考解题指导二次根式有意义的条件是被开方数a0,因 此,要求a的取值范围,只需解不等式即可.特殊地,当二次根式 在分母上,即形如时,a0.,例
4、1(2018聊城)下列计算正确的是( B ) A.3-2= B . = C.(-)=2 D.-3=,解析A.不是同类二次根式,不能直接相减,错误;B.正确;C.括号里的不能合并,错误;D.结果为-,故选B.,变式1-1若代数式 有意义,则实数x的取值范围是( B ) A.x-1B.x-1且x3 C.x-1D.x-1且x3,解析由题意得解得x-1且x3.,变式1-2(2017潍坊)若代数式 有意义,则实数x的取值范围 是( B ) A.x1B.x2C.x1D.x2,解析根据题意得 解得x2.,考点二二次根式的非负性 中考解题指导初中数学涉及三种非负数:一个数的绝对值是非负数,即|a|0;一个数的
5、偶数次幂是非负数,即a2n0(n是正整数);一个非负数的算术平方根是非负数,即0(a0).当几个非负 数的和为0时,这几个非负数均为0.,例2实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示, 化简|a|+ 的结果是( A ) A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b,解析由题图可知a0b,所以a b 0,所以|a|+ =|a|+|a-b| =-a-(a-b) =-2a+b,故选A.,变式2-1当1a 2时,代数式 +|1-a|的值是( B ) A.-1B.1 C.2a -3D.3-2a,解析当1a 2时,a -20,1-a 0, 原式=|a-2|+|1-a| =2-a +a -1 =1, 故选B.,
6、变式2-2已知x,y为实数,且y =-+4,则x y = -1或-7.,解析根据二次根式有意义的条件可知x2-90且9 -x20, 解得x=3,所以y=4.故x -y=-1或-7. 方法技巧化简时,先将它转化为|a|,然后根据绝对值的性 质进行化简.,考点三二次根式的混合运算,例3化简:(-)-|-3|=-6.,解析原式=-3-2-(3-)=-6.,变式3-1(+)=12.,解析原式=(+3)=4=12.,变式3-2化简: -(+)(-).,解析原式=(4-2)-(5-3)=2-2=2-2=0. 方法技巧二次根式的混合运算要注意运算顺序,也可应用整式的运算律使运算简便.,一、选择题 1.(2017泰安三模)与-是同类二次根式的是( C ) A.B. C.D.,随堂巩固训练,2.(2017新泰模拟)下列计算正确的是( A ) A.=2B.= C.=xD.=x 二、填空题,3. =2.,解析原式= =2,故答案为2.,4.(2017岱岳二模)计算:6 -(+1)2=-4.,解析原式=6-(3+2+1)=2-4-2=-4.,
