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1、(1)所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性),我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.,复习,1.古典概型,2.古典概型的概率公式,P(A)=,A包含的基本事件的个数,基本事件的总数,复习题:在0至10中,任意取出一整数, 则该整数小于5的概率.,3.3.1 几何概型,问题2(转盘游戏):图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,问题1:在0至10中,任意取出一实数, 则该数小于5的概率.,定义:如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度
2、(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型。,特征:,(1)、无限性:基本事件的个数无限,(2)、等可能性:基本事件出现的可能性相同,记为:,几何概型的概率公式:,有限性,等可能性,几何概型,古典概型,等可能性,无限性,判断以下各题的是何种概率模型,并求相应概率 (1)在集合 A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取一个元素 ,则 的概率为 (2)已知点O(0,0),点M(60,0),在线段OM上任取一 点P ,则 的概率为,(1)为古典概率模型, P( )=7/10 (2)为几何概率模型
3、, P( ) =1/6 是与长度有关的几何概型问题,口答:,1.长度问题:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大?,基础训练:,解:由题意可得,故由几何概型的知识可知,事件A发生的概率为:,设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。,则把线段三等分,当剪断中间一段时,事件A发生,3m,1m,1m,2.面积问题:如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.,解:由题意可得,从而:基本事件的全体 对应的几何区域为面积为的单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积 事件B对应的几何区域为第二个图形
4、的阴影部分面积,故几何概型的知识可知,事件A、B发生的概率分别为:,设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A, “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。,思考: 在单位圆内有一点A,现在随 机向圆内扔一颗小豆子。 (1)求小豆子落点正好为点A的概率。 (2)求小豆子落点不为点A的概率。,结论:若A是不可能事件,则P(A)=0; 反之不成立 即:概率为0的事件不一定是不可能事件。 若A是必然事件,则P(A)=1; 反之不成立 即:概率为1的事件不一定是必然事件。,A,链接,3.体积问题:有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解:
5、由题意可得,则:基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升的水 事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水,故由几何概型的知识可知,事件A发生的概率为:,设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。,1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。(电台整点报时),解:设A=等待的时间不多于10分钟, 事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60 内 因此由几何概型的求概率公式得: P(A)=(60-50)/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6,提升训练:,析:如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与
6、任何一条平行线相碰, 故由几何概型的知识可知所求概率为:,2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。,课堂小结,1.几何概型的特征:无限性、等可能性、可区域化 2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 4.如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概型公式求解。,1.在区间1,3上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( ) A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75,D,当堂检测:,A. B. C. D.无法计算,B,2.如图所示,边长为2的正方形
7、中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( ),3.在RtABC中,A=30,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM|AC|的概率.,1/6,析:如图所示, 因为过一点作射线是均匀的,因而应把在ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在ACB内任一处,使|AM|AC|的概率只与BCC的大小有关,这符合几何概型的条件.,1/6,检测3:,题组一:与长度有关的几何概型,1、当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,你看到黄灯的概率是多少_.,2、在单位圆O的一条直径MN上随机
8、地取一点Q,过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是_.,题组二:与角度有关的几何概型,变1:在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使ACM为钝角三角形的概率.,变2:在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.,在等腰直角ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.,题组三:与体积有关的几何概型,1、已知棱长为2的正方体,内切球O,若在正方体内任取一点,则这一点不在球内的概率为_.,2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球,假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾,试求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.,例2: 假设你家订了一份报纸
9、,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,问题1:如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么?,问题2:父亲要想在离开家之前拿到报纸,请问x与y 除了要满足上述范围之外,还要满足什么关系?,例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,问题3:这是一个几何概型吗?那么事件A的概率与什么有关系?长
10、度、面积、还是体积?,问题4:怎么求总区域面积?怎么求事件A包含的区域面积?,我们画一个与x、y有关系的图像,例2: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,解:设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y,试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD,事件A包含的区域为阴影部分,S阴影部分=,这是一个几何概型,则,P(A)=,数学来源于生活,也用生活,谢谢!,3.3.2几何概型,普通高中课程标准实验教科书 数学(必修3) 第二课时,复习回顾,1.古典概型
11、与几何概型的区别.,相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.,2.古典、几何概型的概率公式.,3.古典、几何概型问题的概率的求解方法.,EX1.已知:公共汽车在05分钟内随机地到达车站, 求汽车在13分钟之间到达的概率。,分析:将05分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段,则13分钟是这一线段中的2个单位长度。,解:设“汽车在13分钟之间到达”为事件A, 则,答:“汽车在13分钟之间到达”的概率为,EX2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解:记“小杯
12、水中含有这个细菌”为事件A,则事件A的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件。,由几何概型的概率的公式,得,答:小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;,EX3.一张方桌的图案如图所示将一颗豆子随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域,问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与黄色所在区域的位
13、置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.,若把转盘的圆周的长度设为1, 则以转盘(1)为游戏工具时,,以转盘(2)为游戏工具时,,分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型 的“等可能性”还存在, 但不能用古典概型的方法求解.,几何概型的定义(重申与回顾),如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.,在几何概型中,事件A的概率的计
14、算公式如下:,(1)如果在转盘上,区域B缩小为一个单点,那么甲获胜的概率是多少?,问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,构成事件“甲获胜”的区域长度是一个单点的长度0,所以P(甲获胜)=0,(2)如果在转盘上,区域B扩大为整个转盘扣除一个单点,那么甲获胜的概率是多少?,构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0,所以P(甲获胜)=1,归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件 (2)概率为1的事件不一定是必然事件,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时
15、间不多于10分钟的概率.,分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但060之间有无穷个时刻,,可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。,又因为电台每隔1小时报时一次,他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件。,解: 设事件A=等待的时间不多于10分钟. 事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60 时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得 答“等待的时间不超过10分钟”的概率为,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多
16、于10分钟的概率.,练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?,解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P(A)=1/3。,3m,1m,1m,示例2已知:等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上 任取一点M,求AM小于AC的概率。,分析:由点M随机地落在线段AB上,则线段AB为 区域D.当点M位于图中的线段AC上时, 则AMAC,故线段AC即为区域d。,解: 在AB上截取AC=AC, 则P(AMAC)=P(AMAC),答:AM小于AC的概率为,示例3(会面问题)已知甲乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人