2008年A题相机定位系统数学模型与算法设计.doc

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1、赛马不相马 敢为天下先 2008年A题 相机定位系统数学模型与算法设计首先讨论对于靶标上一个大小确定的圆，如何利用得到的像确定其圆心的像坐标问题，它是标定问题研究的一个非常关键环节。然后，我们用所给的模型对文中的实例进行了验证，经过计算机帧 相机定位系统的数学模型与算法设计山东科技大学 滕飞 徐学辉 张冰璇 高德智专家点评: 本文按光学原理得到像平面上圆的像，把该像与已有的图像做最优匹配。找到最优匹配的一个圆，求出其圆心，近似地确定圆心的像坐标，并对原像所在的平面进行了拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题。最后利用多个靶标所得坐标，通过空间坐标变换和参数拟合等方法给出了一种确定两部

2、相机相对位置的方法。 潍坊学院 孙建安副教授 2008/09/25摘 要相机标定在交通监管等方面有着广泛的应用，也是计算机视觉研究的一个重要问题之一。本文首先讨论对于靶标上一个大小确定的圆，如何利用得到的像确定其圆心的像坐标问题，它是标定问题研究的一个非常关键环节。由于像与原像之间是一个非线性关系，圆的像一般不再是圆甚至也不是椭圆，所以只能通过整体图像去确定中心坐标。为此，我们首先取一个平面，再取该平面上一个按靶标大小确定的圆，这个圆依赖圆心参数和平面参数等多个变量。取定一组参数，按光学原理得到像平面上该圆的像，把该像与已有的图像做最优匹配。找到最优匹配的一个圆，求出其圆心，按照光学原理对应到

3、像平面上就能近似地确定圆心的像坐标（模型见正文(10)式）。在设计算法时，我们选用搜索和简化计算等多种方法进行计算，对比得到结果。然后，我们用所给的模型对文中的实例进行了验证，经过计算机帧面坐标系和像面坐标系的换算求出了原像中五个圆心的像坐标（见表4）。进而我们对原像所在的平面进行了拟合，效果图见附件1。从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。特别地，通过验证实例中的 是否近似地位于同一直线，对模型进行验证和调整。另外，我们也讨论各种参数变化对模型的影响、离散化及像素和距离的转换对模型的影响和畸变对图像影响等问题，并给出了一些改进建议。最后，对通过标定方法

4、确定两部固定相机的相对位置给出了数学模型。该模型利用多个靶标所得坐标，通过空间坐标变换和参数拟合等方法给出了一种确定两部相机相对位置的方法。关键字： 标定 最优匹配 拟合 成像原理 1 问题的重述相机标定是视觉检测系统标定的一个重要组成部分，它在交通监管等方面有重要的应用。如果要做到从像面上所获得的二维信息来推断、检测二维或三维信息，必须确定相机的具体参数。该问题所用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。确定两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即

5、确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。该问题所用的标定方法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下，取1个边长为100 的正方形，分别以四个顶点为圆心，12 为半径作圆。以 边上距离 点30 处的 为圆心，12 为半径作圆，并用一位置固定的数码相机摄得其像。1、建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；2、对由题目给出的靶标及其像，计

6、算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；3、设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；4、建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2 假设与符号2.1 假设照相机的镜头由一个凸透镜构成；2.2 假设经过相机镜头生成的像没有发生畸变；2.3 假设所讨论的照相设备是最简单的情形，不具有广角等功能；2.4 一幅图像一旦确定，其焦距等相机的参数都相应地确定；2.5 靶标是一个固定大小的圆形图形位于一个平面上；2.6 假设相机的光学中心就是相机镜头的中心

7、；2.7 表示焦距， 表示物距， 表示像距。3 问题分析为了更准确地解决以上的几个问题，首先，我们对涉及到的光学成像原理及我们所讨论的问题进行一些简要的分析。为表述相机的成像关系，系统中存在多个坐标系，如世界坐标系、摄像机坐标系、帧面坐标系等。按本问题的要求，我们取一部相机的光学中心为原点，以实际中的上方为 轴的正方向，过光学中心指向实物的一方为 轴的正向，根据与 轴垂直且 轴成右手关系确定 轴的正向。如图1所示。图1由光学透视原理，我们知道 (1)其中 为焦距， 为物距， 为像距。轴垂直于像平面且交像平面于 点， 的坐标为 。 是计算机帧面坐标系，以像素为离散单位。通过解析方法可求解物平面点

8、 到像平面点 透视变换关系： (2)上式是在假设光学系统理想的情况下推得的数学模型， 是透视变换矩阵， 是光学成像系统的缩放系数。题目中要求的几个问题的关键是已知靶标是一个大小确定的圆，由该圆的像去推测哪一点是由该圆的圆心映得的像。如果这个问题能回答，则问题2可看作对所给的模型的应用和验证。一般而言，所给的数学模型仅仅是实际情形的理想化反映，而实际中由于受各种因素影响会出现一定的偏差，通过验证可以对模型进行一定的修订。在上述问题都能得到解决的前提下，最后一个问题可以看作是同一实物在不同的两个位置拍摄的像已知的情形下，推测两个相机的位置的相对关系。从几何上看相当于一个坐标转换问题。4 模型的建立

9、与求解4.1 问题1的模型首先，本文为适应单摄像机视觉检测的需要，依据光学系统原理和二维测量的特点，提出了一种基于图像匹配最优、高精度地确定圆心的像坐标的数学模型。4.1.1模型的建立假设靶标上的圆的大小是固定的，其半径为 ，圆心的坐标为 。那么按相机的成像原理 一定在相平面上对应唯一的一点 ，即， (3)关键是要通过得到的图像反求出 的可能值。因此，模型可以描述如下：由于靶标上的圆在一个平面上，则圆面方程为 (4)其中第一个方程表示靶标上的一个圆所在的球体，第二个方程表示靶标所在的平面，参数 满足 (6)即圆心在平面上。六个参数中有五个是独立的。由成像原理，圆上的点在像平面成的像为 (7)这

10、里需要说明的是圆上的点 的每个坐标都依赖于所取的参数， 对一幅图像是常数，但 是与参数有关的量。由此说明物平面中点的变化与对应像平面的变化成复杂的非线性关系，这也是本问题的难度所在。记其中 是靶标上圆中的点， 是圆中点的像坐标。即需要被匹配的图像中的点的集合。记 。令 表示我们选择的图像的像素值，当 时，其值为0，当 其值为1； 为 在点 的像素值，当 时，其值为0，当 其值为1。确定参数 使得 (8)得到圆心的像坐标为，即 (9)记 ，则模型表述为： (10)其中 中 表示最优匹配圆的圆心的像坐标。4.1.2 算法设计 1) 根据上面给的模型，我们首先给出模型求解的一般方法：i 每取定一组参

11、数值 得到一个平面的圆，即靶标圆的图形；ii 按照成像原理把该靶标圆中的点对应到像平面，然后得到一个像平面的图像；iii 让该图像与实际的图像之间作匹配，估计误差，找出误差小于我们规定的即可；iv 把搜索到的圆的中心 ，在光学原理下求出其对应的像的坐标，即可作为圆心的像坐标。图2为该算法的流程图。开始取a,b,c,A,B,C的值得到靶标的圆方程利用像成像原理得到圆的像方程与真实像方程对比，判断误差是否大于规定值(a,b,c)为圆心得到圆心的像坐标结束NY图2虽然上面的算法思想在理论上是可行的，但在实际计算中，第二步、第三步中参数较多，运算量较大。为此，由参数每确定一个圆，就可以通过一定宽度的网

12、格去划分，只取网格点进行优化。这样虽然降低了准确性，但大大降低了运算量。2) 简化算法根据成像原理，我们可以知道在物像平面的一些特殊特征可以保持不变，为此我们给出下面的命题，它对简化我们的算法有所帮助。命题 成像时把物平面上的直线映为像平面的直线，把水平直线映为水平直线(相对于本问题中的坐标系)，把垂直直线映为垂直直线，把凸形图像映为凸形图像。由此命题我们可以简化计算圆心的像坐标。具体算法如下：i 在得到的每个圆的像上找上下、左右各两条与像相切的直线；ii 这些直线相交四个点，在像平面做成一个矩形；iii 求出该矩形的对角线的交点，把其作为圆中心的像坐标；iv 通过拟合等其他方法进行校正。该方

13、法将在下一节实例中给与具体应用。4.2 问题2的求解首先在像平面所在的平面建立一个以所得像的左边界为x轴，以所得像的上边界为y轴的平面直角坐标系（帧面坐标系），如图3所示。根据相机的分辨率1024768，将像的纵边分成768个单位，将像的横边分成1024个单位。图3将靶标的像读入Matlab，并按照以上建立的坐标系确定其各个像素点的坐标。利用Matlab将该图像转化成二值图像，即图像上的各个点根据其所在位置分别用0、1表示，其中0代表像平面上的圆内的点，1代表像平面上圆以外的点(源代码见附件2)。接下来将利用三种方法计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。首先建立以相机的光学中心为原点，x-y平

14、面平行于像平面的空间坐标系，且轴,轴的正方向与问题1中所规定的方向相同，如图4。由坐标系的定义可以知道像平面垂直于z轴，即像平面上的各点的第三分向量均为常数,1577个像素单位。由照相机的构造可知，相机的光学中心在像平面上所对应的点为整个像平面的坐标原点。因此，可以通过平移和数据转换，将圆的圆心在计算机帧面坐标系下的像转换到像平面坐标下的坐标。图4沿z轴正方向所看到的像平面 然后，我们利用上节建立的模型，对五个靶标分别用匹配的方法求得圆心的像坐标，然后利用像的集合特征及光学成像原理，用简化的方法也得到了圆心的像坐标。(1) 匹配搜索方法对每个靶标，按上节的算法思想，利用Matlab进行编程搜索，设置各参数的步长为五个像素单位，最后取精度为1(像素)。然后再换算成单位为毫米的长度。所得结果列在表1中。 横坐标纵坐标A195-188B187-89C170127D-11871E-118-227表1 匹配搜索方法得到的各圆心的像坐标（单位：像素） (2) 内切圆法在