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1、初中数学教学典型案例分析初中数学教学典型案例分析 我仅从四个方面，借助教学案例分析的形式，向老师们汇报一下我个人数学教学的体会，这 四个方面是： 1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合；2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整；3. 对数学习题课的思考；4.对课堂提问的思考。 首先，结合勾股定理一课的教学为例，谈谈如何在多样化学习活动中实现三维目标的整 合 案例 1：勾股定理一课的课堂教学 第一个环节：探索勾股定理的教学 师（出示 4 幅图形和表格）：观察、计算各图中正方形 A、B、C 的面积，完成表格，你有 什么发现？ A 的面积B 的面积C 的面积 图 1 图 2 图 3 图 4 生：从
2、表中可以看出 A、B 两个正方形的面积之和等于正方形 C 的面积。并且，从图中可 以看出正方形 A、B 的边就是直角三角形的两条直角边，正方形 C 的边就是直角三角形的 斜边， 根据上面的结果， 可以得出结论 ： 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“数”与“形”的密切关联，形成猜想，主动探索结 论，训练了学生的归纳推理的能力，数形结合的思想自然得到运用和渗透，“面积法”也为后 面定理的证明做好了铺垫，双基教学寓于学习情境之中。 第二个环节：证明勾股定理的教学 教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片，先分组拼图探究，在交流、展示，让 学
3、生在实践探究活动中形成新的能力 (试图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同 的方法表示)。 学生展示略 通过小组探究、展示证明方法，让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来， 并试图通过几何意义的理解构造图形， 让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方 法，提升创新思维能力。 第三个环节：运用勾股定理的教学 师（出示右图）：右图是由两个正方形 组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新 的正方形，若能，看谁剪的次数最少。 生（出示右图）：可以剪拼成一个面积 不变的新的正方形，设原来的两个正方形的 边长分别是 a、b，那么它们的面积和就是 a2+ b2，由于面积不变，所以新正方
4、形的面积 应该是 a2+ b2，所以只要是能剪出两个以 a、b 为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个 边长为 a2+ b2 的正方形就行了。 问题是数学的心脏， 学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。 教师在此设置问题不仅是 检验勾股定理的灵活运用，更是对勾股定理探究方法和证明思想（数形结合思想、面积割补 的方法、转化和化归思想）的综合运用，从而让学生在解决问题中发展创新能力。 第四个环节：挖掘勾股定理文化价值 师 ： 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，见数与形密切联系起来。它在培养学 生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独 特的作用。
5、勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的周髀算经 ，在我国古籍九 章算术中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理”， 是欧式几何的核心定理之一，是平面几何的重要基础，关于勾股定理的证明，吸引了古今中 外众多数学家、 物理学家、 艺术家， 甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。 它的发现、 证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵， 希望同学们课后查阅相关资料， 了解数学发展的 历史和数学家的故事，感受数学的价值和数学精神，欣赏数学的美。 新课程三维目标（知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观）从三个维度构建起具有丰 富内涵的目标体系， 课程运行中的每一个目标
6、都可以与三个维度发生联系， 都应该在这三个 维度上获得教育价值。 2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整 案例 2：年前，在鲁教版七年级数学上册配套练习册第 70 页，遇到一道填空题： 例：设 a、b、c 分别表示三种质量不同的物体，如图所示，图、图两架天平处于平衡状 态。为了使第三架天平（图）也处于平衡状态，则“？”处应放 个物体 b? 图 图 ? 图 通过调查，这个问题只有极少数学生填上了答案，还不知道是不是真的会解，我需要讲解一 下。 我讲解的设计思路是这样的： 一.引导将图和图中的平衡状态，用数学式子（符号语言数学语言）表示（现实问 题数学化数学建模）： 图：2a=cb. 图: ab
7、=c. 因此，2a=（ab）b. 可得：a=2b， c=3b. 所以，ac = 5b. 答案应填 5. 我自以为思维严密，有根有据。然而，在让学生展示自己的想法时，却出乎我的意料。 学生 1 这样思考的： 假设 b=1,a=2,c=3.所以，ac = 5，答案应填 5. 学生这是用特殊值法解决问题的， 虽然特殊值法也是一种数学方法， 但是存在很大的不确定 性，不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”， 我必须深化学生的思维， 但是， 还不能打击他的自信心， 必须保护好学生的思维成果。 因此， ab a 我立刻放弃了准备好的讲解方案，以学生思维的结果为起点，进
8、行调整。 我先对学生 1 的方法进行积极地点评， 肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用， 当那 几个同样做法的学生自信心溢于言表时，我随后提出这样一个问题： “你怎么想到假设 b=1, a=2, c=3？a、b、c 是不是可以假设为任意的三个数？” 有的学生不假思索，马上回答：“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见，大多数将 信将疑，全体学生被这个问题吊足了胃口，我趁机点拨： “验证一下吧。” 全班学生立刻开始思考，验证，大约有 3 分钟的时间，学生们开始回答这个问题： “b=2，a=3，c=4 时不行，不能满足图、图中的数量关系。” “b=2，a=4，c=6 时可以。结果也该填 5
9、.” “b=3，a=6，c=9 时可以，结果也一样。” “b=4，a=8，c=12 时可以，结果也一样。” “我发现，只要 a 是 b 的 2 倍，c 是 b 的 3 倍就能满足图、图中的数量关系，结果就一 定是 5.” 这时，学生的思维已经由特殊上升到一般了，也就是说在这个过程中，学生的归纳推理得到 了训练， 对特殊值法也有了更深的体会， 用字母表示发现的规律， 进而得到 a=2b， c=3b.所以， a c = 5b. 答案应填 5. 我的目的还没有达到，继续抛出问题： “我们列举了好多数据，发现了这个结论，你还能从图、图中的数量关系本身，寻找更 简明的方法吗？”学生又陷入深深地思考中，当
10、我巡视各小组中出现了“图 ： 2a=cb. 图: ab=c.”时，我知道，学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。 我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征，这意味着课堂教 学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系，即课堂教学过 程不是简单地执行教学设计方案的过程。 在课堂教学展开之初， 我们可能先选取一个起点切入教学过程， 但随着教学的展开和师生之 间、 生生之间的多向互动， 就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学 “新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的，而是多元的；不是确定不变的，而是预 设中生成的；不是按预
11、设展开僵硬不变的，而是在动态中调整的。 3.一节数学习题课的思考 案例 3：一位教师的习题课，内容是“特殊四边形”。 该教师设计了如下习题： 题 1 （例题）顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是怎样的四边形？并证明你的结 论。 题 2 如右图所示，ABC 中，中线 BE、CF 交于 O, G、H 分别是 BO、CO 的中点。 （1） 求证：FGEH; （2） 求证：OF=CH. 题 3 (拓展练习)当原四边形具有什么条件时，其中点四边形为矩形、菱形、正方形？ 题 4 （课外作业）如右图所示， DE 是ABC 的中位线，AF 是边 BC 上的中线，DE、AF 相交于点 O. （1）求证：AF
12、 与 DE 互相平分； （2）当ABC 具有什么条件时，AF = DE。 （3）当ABC 具有什么条件时，AFDE。 F G E HD CB A O F A E CB D 教师先让学生思考第一题（例题） 。教师引导学生画图、观察后，进入证明教学。 师：如图，由条件 E、F、G、H 是各边的中点，可联想到三角形中位 线定理，所以连接 BD，可得 EH、 FG 都平行且等于 BD,所以 EH 平行 且等于 FG,所以四边形 EFGH 是平行四边形，下面，请同学们写出证明过程。 只经过五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生也觉得不难。但让学生做题 2，只 有几个学生会做。题 3 对学生的困难
13、更大，有的模仿例题，画图观察，但却得不到矩形等特 殊的四边形；有的先画矩形，但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。 评课 ： 本课习题的选择设计比较好，涵盖了三角形中位线定理及特殊四边形的性质与判定等 数学知识。运用的主要方法有 ： （1）通过画图（实验） 、观察、猜想、证明等活动，研究数 学；（2）沟通条件与结论的联系，实现转化，添加辅助线；（3）由于习题具备了一定的开 放性、解法的多样性，因此思维也要具有一定的深广度。 为什么学生仍然不会解题呢？学生基础较差是一个原因，在教学上有没有原因？我个人感 觉，主要存在这样三个问题： （1）学生思维没有形成。教师只讲怎么做，没有讲为什么这么做。教师
14、把证明思路都说了 出来，没有引导学生如何去分析，剥夺了学生思维空间； （2）缺少数学思想、方法的归纳，没有揭示数学的本质。出现讲了这道题会做，换一道题 不会做的状况； （3）题 3 是动态的条件开放题，相对于题 1 是逆向思维，思维要求高，学生难把握，教师 缺少必要的指导与点拨。 修正：根据上述分析，题 1 的教学设计可做如下改进： 首先，对于开始例题证明的教学，提出“序列化”思考题： （1）平行四边形有哪些判定方法？ （2）本题能否直接证明 EFFG , EH=FG? 在不能直接证明的情况下，通常考虑间接证明， 即借助第三条线段分别把 EH 和 FG 的位置关系（平行）和数量关系联系起来，分
15、析一下， 那条线段具有这样的作用？ （3）由 E、F、G、H 是各边的中点，你能联想到什么数学知识？ （4）图中有没有现成的三角形及其中位线？如何构造？ 设计意图：上述问题（1）激活知识；问题（2）暗示辅助线添加的必要性，渗透间接解决问 题的思想方法；问题（3） 、 （4）引导学生发现辅助线的具体做法。 其次，证明完成后，教师可引导归纳： 我们把四边形 ABCD 称为原四边形，四边形 EFGH 称为中点四边形，得到结论：任意四边 形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通了条件与结论的联系，实现了转化。原四边形的 一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。 这种沟通来源于原四边形的对角
16、线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边， 由此可感受到， 起到这种沟 通作用的往往是图形中的公共元素，因此，在证明中一定要关注这种公共元素。 然后，增设“过渡题”：原四边形具备什么条件时，其中点四边形为矩形？教师可点拨思考： 怎样的平行四边形是矩形？结合本题特点， 你选择哪种方法？考虑一个直角， 即中点四边形 一组邻边的位置关系。 一组邻边位置和数量关系的变化， 原四边形两条对角线的位置和数量 关系也随之变化。 根据修正后的教学设计换个班重上这节课，这是效果明显，大部分学生获得了解题的成功， 几个题都出现了不同的证法。 启示 ： 习题课教学，例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系，纲举则目张。在例题 教学中，教师要指导学生学会思维，揭示数学思想，归纳解题方法策略。可以尝试以下方法 ： （1） 激活、 检索与题相关的数学知识。 知识的激活、 检索缘于题目信息， 如由条件联想知识， 由结论联系知识。知识的激
