《2020年高考真题试题——数学（理）试题（全国卷II）解析专版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考真题试题——数学（理）试题（全国卷II）解析专版（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满本试卷满分分 150 分分. 2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，
2、 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则() U AB（） A. 2，3B. 2，2，3 C. 2，1，0，3D. 2， 1， 0， 2，3 2.若为第四象限角，则（） A. cos20B. cos20D. sin2b0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的 顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准
3、方程. 20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC， B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F. - 5 - （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； （2）证明： 3 3 ( ) 8 f x ； （3）设 nN*，证明：sin
4、2xsin22xsin24xsin22nx 3 4 n n . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所铅笔将所 选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （为参数） ，C2： 1, 1 xt t yt t （t 为 参数）. （1）将 C1，C2的参数方程化为
5、普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极 轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 ( )|21|f xxaxa. - 6 - （1）当2a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若( ) 4f x ，求 a 的取值范围. - 7 - 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题
6、卡上.本试卷满本试卷满分分 150 分分. 2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则() U AB（） A. 2，3B. 2，2，3 C. 2，1，0，3D. 2， 1， 0， 2，3 【答案】A
7、【解析】 【分析】 首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：1,0,1,2AB ，则 U 2,3AB . 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2.若为第四象限角，则（） A. cos20B. cos20D. sin2b0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的 顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程. 【答案】 （1） 1 2
8、； （2） 22 1: 1 3627 xy C， 2 2: 12Cyx. 【解析】 【分析】 （1）求出AB、CD，利用 4 3 CDAB可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 1 C的 离心率的值； （2）由（1）可得出 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ，联立曲线 1 C与 2 C的方程，求出点M的坐 - 23 - 标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c的值，进而可得出 1 C与 2 C的标准方程. 【详解】 （1）,0F c，ABx轴且与椭圆 1 C相交于A、B两点， 则直线AB的方程为x c ， 联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解得 2 xc
9、 b y a ，则 2 2b AB a ， 抛物线 2 C的方程为 2 4ycx，联立 2 4 xc ycx ， 解得 2 xc yc ，4CDc， 4 3 CDAB，即 2 8 4 3 b c a ， 2 23bac ， 即 22 2320caca ，即 2 2320ee ， 01eQ，解得 1 2 e ，因此，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ； （2）由（1）知2ac， 3bc ，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ， 联立 2 22 22 4 1 43 ycx xy cc ，消去y并整理得 22 316120 xcxc ， 解得 2 3 xc或6xc （舍去） ， -
10、 24 - 由抛物线的定义可得 25 5 33 c MFcc，解得3c . 因此，曲线 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 曲线 2 C的标准方程为 2 12yx. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标 准方程，考查计算能力，属于中等题. 20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC， B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F. （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O 为A1B1C1
11、的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 10 . 【解析】 【分析】 （1） 由,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1 /MN CC， 根据条件可得 11 / /AABB， 可证 1 MN AA/， 要证平面 11 EBC F平面 1 A AMN，只需证明EF 平面 1 A AMN即可； （2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在 11 BC截取 1 BQEP，由（1）BC平面 1 A AMN，可得QPN为 1 B E与平面 1 A AMN所成角，
12、即可 - 25 - 求得答案. 【详解】 （1）,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1 /MN BB 又 11 / /AABB 1 /MN AA 在ABC中，M为BC中点，则BCAM 又侧面 11 BBCC为矩形， 1 BCBB 1 /MN BB MNBC 由MNAMM，,MN AM 平面 1 A AMN BC平面 1 A AMN 又 11/ BCBC，且 11 BC 平面ABC，BC 平面ABC， 11/ BC平面ABC 又 11 BC 平面 11 EBC F，且平面 11 EBC F 平面ABCEF 11/ / BCEF /EF BC 又BC 平面 1 A AMN EF 平面 1 A
13、 AMN EF 平面 11 EBC F 平面 11 EBC F平面 1 A AMN （2）连接NP - 26 - /AO平面 11 EBC F，平面AONP平面 11 EBC FNP /AO NP 根据三棱柱上下底面平行， 其面 1 ANMA平面ABC AM，面 1 ANMA平面 1111 ABCAN /ON AP 故：四边形ONPA是平行四边形 设ABC边长是6m(0m ) 可得：ONAP，6NPAOABm O为 111 A B C的中心，且 111 A B C边长为6m 1 6 sin603 3 ONm 故： 3ONAPm /EF BC APEP AMBM 3 33 3 EP 解得：EPm
14、 在 11 BC截取 1 BQEPm，故2QNm - 27 - 1 BQEP且 1 /BQ EP 四边形 1 BQPE是平行四边形， 1 /B E PQ 由（1） 11 BC 平面 1 A AMN 故QPN为 1 B E与平面 1 A AMN所成角 在RtQPN，根据勾股定理可得： 22 22 262 10PQQNPNmmm 210 sin 102 10 QNm QPN PQm 直线 1 B E与平面 1 A AMN所成角的正弦值： 10 10 . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直 转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能
15、力，属于难题. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； （2）证明： 3 3 ( ) 8 f x ； （3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx 3 4 n n . 【 答 案 】 （ 1 ） 当0, 3 x 时 ， 0,fxf x单 调 递 增 ， 当 2 , 33 x 时 ， 0,fxf x单调递减，当 2 , 3 x 时， 0,fxf x单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原 函数的单调性
16、即可； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即 - 28 - 可证得题中的不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 2 22212 3 sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2 nnn fxxxxxxxxx ，然后结合(2) 的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得： 3 2sincosf xxx，则： 224 2 3sincossinfxxxx 222 2sin3cossinxxx 22 2sin4cos1xx 2 2sin2cos12cos1xxx， 0fx 在0,x上的根为： 12 2 , 33 xx ， 当0, 3 x 时， 0,fxf x单调递增， 当 2 , 33 x 时， 0
