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1、1 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数数学学 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟第卷 1 至 3 页,第卷 4 至 6 页 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试 用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题 卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案标号
2、2本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分 参考公式: 如果事件A与事件B互斥,那么()( )( )P ABP AP B 如果事件A与事件B相互独立,那么()( ) ( )P ABP A P B 球的表面积公式 2 4SR,其中R表示球的半径 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设全集 3, 2, 1,0,1,2,3U ,集合 1,0,1,2, 3,0,2,3AB ,则 U AB () A 3,3B0,2C 1,1D 3, 2, 1,1,3 2设aR,则“1a ”是“ 2 aa”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3函数
3、 2 4 1 x y x 的图象大致为() 2 AB CD 4从一批零件中抽取 80 个,测量其直径(单位:mm) ,将所得数据分为 9 组: 5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零 件中,直径落在区间5.43,5.47)内的个数为() A10B18C20D36 5若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为() A12B24C36D144 6设 0.8 0.7 0.7 1 3 ,log0.8 3 abc ,则, ,a b c的大小关系为() AabcBbacCbcaDcab 7 设双曲线
4、C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab , 过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, )b的直线为l 若C的 一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为() 3 A 22 1 44 xy B 2 2 1 4 y x C 2 2 1 4 x yD 22 1xy 8已知函数( )sin 3 f xx 给出下列结论: ( )f x的最小正周期为2; 2 f 是( )f x的最大值; 把函数sinyx的图象上所有点向左平移 3 个单位长度,可得到函数( )yf x的图象 其中所有正确结论的序号是 ABCD 9已知函数 3, 0, ( ) ,0. xx f x xx 若函数
5、 2 ( )( )2()g xf xkxxkR恰有 4 个零点,则k的取值范 围是() A 1 ,(2 2,) 2 B 1 ,(0,2 2) 2 C(,0)(0,2 2)D(,0)(2 2,) 4 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数数学学 第第卷卷 注意事项: 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共 11 小题,共 105 分 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分试题中包含两个空的,答对 1 个的给 3 分,全部答 对的给 5 分 10i是虚数单位,复数 8 2 i i _ 11在
6、5 2 2 x x 的展开式中, 2 x的系数是_ 12已知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于,A B两点若| 6AB ,则r的值为 _ 13已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落 入盒子的概率为_;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 14已知0,0ab,且1ab ,则 118 22abab 的最小值为_ 15如图,在四边形ABCD中,60 ,3BAB ,6BC ,且 3 , 2 ADBCAD AB ,则实 数的值为_,若,M N是线段BC上的动点,且| 1MN ,则DM DN 的最小值为_ 三、解答题:本大题
7、共 5 小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (本小题满分 14 分) 在ABC中,角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知2 2,5,13abc 5 ()求角C的大小; ()求sin A的值; ()求sin 2 4 A 的值 17 (本小题满分 15 分) 如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC, 1 3CC ,点,DE分 别在棱 1 AA和棱 1 CC上,且12,ADCEM为棱 11 AB的中点 ()求证: 11 C MB D; ()求二面角 1 BB ED的正弦值; ()求直线AB与平面 1 DB E所
8、成角的正弦值 18 (本小题满分 15 分) 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为(0, 3)A,右焦点为F,且| |OAOF,其中O为原点 ()求椭圆的方程; ()已知点C满足3OCOF ,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点) ,直线AB与以C为圆心的圆相切 于点P,且P为线段AB的中点求直线AB的方程 19 (本小题满分 15 分) 已知 n a为等差数列, n b为等比数列, 11543543 1,5,4abaaabbb ()求 n a和 n b的通项公式; ()记 n a的前n项和为 n S,求证: 2* 21nnn S SSn N; 6 ()对任意的正整数n,设
9、 2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前2n项和 20 (本小题满分 16 分) 已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR,( )fx 为( )f x的导函数 ()当6k 时, (i)求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程; (ii)求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值; ()当3k时,求证:对任意的 12 ,1,)xx ,且 12 xx,有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学参考
10、解答 一、选择题:每小题 5 分,满分 45 分 1C2A3A4B5C6D7D8B9D 二、填空题:每小题 5 分,满分 30 分试题中包含两个空的,答对 1 个的给 3 分,全部答对的给 5 分 1032i111012513 1 6 ; 2 3 14415 1 6 ; 13 2 三、解答题 16满分 14 分 ()解:在ABC中,由余弦定理及2 2,5,13abc,有 222 2 cos 22 abc C ab 又因 为(0, )C,所以 4 C ()解:在ABC中,由正弦定理及,2 2,13 4 Cac ,可得 sin2 13 sin 13 aC A c ()解;由ac及 2 13 sin
11、 13 A ,可得 2 3 13 cos1 sin 13 AA,进而 2 125 sin22sincos,cos22cos1 1313 AAAAA 所以, 7 1225217 2 sin 2sin2 coscos2 sin 44413213226 AAA 17满分 15 分 依题意,以C为原点,分别以 1 ,CA CB CC 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如 图) ,可得 1 (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)CABC, 11 (2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)ABDE,(1,1,3)M () 证明: 依题意, 1
12、(1,1,0)C M , 1 (2, 2, 2)B D , 从而 11 2200C M B D, 所以 11 C MB D ()解:依题意,(2,0,0)CA 是平面 1 BB E的一个法向量, 1 (0,2,1)EB ,(2,0, 1)ED 设 ( , , )nx y z 为平面 1 DB E的法向量,则 1 0, 0, n EB n ED 即 20, 20. yz xz 不妨设1x ,可得(1, 1,2)n 因此有 6 cos, 6|CA n CA n CA n ,于是 30 sin, 6 CA n 所以,二面角 1 BB ED的正弦值为 30 6 ()解:依题意,( 2,2,0)AB 由
13、()知(1, 1,2)n 为平面 1 DB E的一个法向量,于是 3 cos 3| AB n AB n 所以,直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值为 3 3 8 18满分 15 分 ()解:由已知可得3b 记半焦距为c,由| |OFOA可得3cb又由 222 abc,可得 2 18a 所以,椭圆的方程为 22 1 189 xy ()解:因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以ABCP依题意,直线AB和直线CP的 斜率均存在 设直线AB的方程为3ykx 由方程组 22 3, 1, 189 ykx xy 消去y, 可得 22 21120kxkx, 解得0 x ,或 2 12 21 k x
14、 k 依题意,可得点B的坐标 2 22 1263 , 21 21 kk kk 因为P为线段AB的中点,点 A的坐标为(0, 3),所以点P的坐标为 22 63 , 21 21 k kk 由3OCOF ,得点C的坐标为(1,0),故直 线CP的斜率为 2 2 3 0 21 6 1 21 k k k ,即 2 3 261kk 又因为ABCP,所以 2 3 1 261 k kk ,整理得 2 2310kk ,解得 1 2 k ,或1k 所以,直线AB的方程为 1 3 2 yx,或3yx 19满分 15 分 () 解: 设等差数列 n a的公差为d, 等比数列 n b的公比为q 由 1 1a , 54
15、3 5aaa, 可得1d , 从而 n a的通项公式为 n an由 1543 1,4bbbb,又0q ,可得 2 440qq,解得2q , 从而 n b的通项公式为 1 2n n b ()证明:由()可得 (1) 2 n n n S ,故 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn , 2 22 1 1 (1)2 4 n Snn , 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ,所以 2 21nnn S SS () 解: 当n为奇数时, 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ; 当n为偶数时, 1 1 1 2 n n n n an c b 对任意的正整数n,有 2222 21 11 222 1 212121 kkn nn k kk c kkn , 9 和 2 23 11 2113521 44444 nn k kn kk kn c 由得 2 231 1 1132321 44444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 3122