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1、第二章中国古代数学,我们祖国具有悠久而光辉的历史，在数学领域里曾经创造了高度文明，对人类文明发展作出过极其辉煌的贡献。中国是数学最早萌芽、产生和发展的国家，一些古代数学成就，在历史上曾处于遥遥领先的地位。 限于篇幅，本章不准备全面阐述中国古代的数学发展，仅就处于世界领先地位的方面作简要的介绍。,社会历史背景条件 相对封闭的疆域 大河背景下的农耕文化 集中的王权 中国数学的特点 形成了以计算为核心的算法理论 具有浓郁应用色彩 中国数学的成就 第一部数学著作九章算术（大约公元前二百年左右） 公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制,1、中国古代数学的萌芽
2、时期（上古到春秋战国时期）,中国数学的起源可以追溯到遥远的上古时代。其数学成就如下： 、最早的记数法。“伏羲作结绳”，“上古结绳而治” 、最早的几何概念。公元前年，我国已有圆、方、平、直的概念。对几何工具也有深刻认识。,汉武梁祠中有“伏羲手执规、女娲手执矩”的造像。史记禹本纪中所述大禹治水（公元前世纪）时的工具“左准绳、右规矩”,、位值制的最早使用:十进位值制,二进位值制阳爻“”、阴爻“”，二进位值制的萌芽，八卦 据英国李约瑟博士考证，莱布尼茨创立二进位制很可能是从八卦图象中得到了启发 电子计算机 “古老的八卦敲响了近代科学的晨钟！”,4、勾股定理。周朝初年（公元前年），我国数学家商高就讲到“
3、勾广三，股修四，径隅五”，这实际是勾股定理的特殊情况。 、四则运算。算术四则运算在春秋战国时代已经确立，乘法运算已广为流行。自“九九八十一”，到“二二如四”结束，称为“九九表”，一直流行了约年，直到南宋才改为现在形式的“九九表”。 、最早的数学著作。周髀算经是一部以盖天说为中心的天文著作，但却记载了大量的数学内容。内容有分数、等差数列、勾股定律与测量术，还有比例知识，约成书于西汉初期（公元前世纪），作者是谁已很难考证。,附：周易与中国传统数学,周易是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期 ,在古代中国众多的儒、道典籍中，周易是包含数学内容最丰富的著作。 “卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情
4、吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶 , “筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用蓍草,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。” 周易由易经和易传两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与周易相联系。刘徽在九章算术注的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”,易经中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“”与“”表示阳爻和阴爻 。构成八卦、六十四别卦 研究认为，周易中爻的符号“”、“”是由数字或数表演进而来的。理由是： 其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六
5、”分别表示阳爻和阴爻。 其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表 ，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前1066），就只有一和六这两个数字了。 学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“”，这样数“一”与“”就具有爻的形象了。以后“”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“”的表示形式。,1 、 从数(表)演进为爻,四盘磨卜骨上的字符,太极八卦图,2 、周易揲法大衍演算,周易中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（1130120
6、0）对揲法的解说如下： （1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根； （2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）； （4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）； （5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。,将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与
7、第二变的计算，操作方法仿上述（2）（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或36，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。,从中国古代的占筮工具和方法中，不难发现中国传统数学的历史渊源,“数学”一词相当于我国古代的“算术” 数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。,
8、算筹 中国古人称数学为算学, 组合数学的思想洛书与河图,宋代的九宫格,明代的洛书,河图的解释，在历史上有多种说法。其中尚书中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”,图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同,“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”,明代邵雍的易图数学结构,儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以周易象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨经的逻辑学为其论说的
9、工具。 孔子（前551前479）的“六艺”中的“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要 ）是九章算术的雏形 墨子（前468前376）的抽象概念和逻辑知识： 三个逻辑方法:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。 惠施（约前370前318）对无穷性质的认识 ：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ；“镟矢之疾有不行不止之时”。,、 先秦显学中的数学思想,、中国初等数学理论体系的形成时期（春秋战国时代到西汉末年）,从
10、春秋战国时代起，数学在中国经过漫长岁月的发展，到西汉末年出现了数学专著九章算术 ，它的成书标志着我国传统数学理论体系初等数学理论体系的形成。,第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积） 第二章粟米（粮食交易的计算方法） 第三章衰分（比例分配） 第四章少广（开平方与开立方） 第五章商功（体积计算） 第六章均输（运输中的均匀负担） 第七章盈不足（盈亏类问题计算） 第八章方程（一次方程组解法与正负数） 第九章勾股（勾股定理的应用） 全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依
11、据,九章算术是以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题。九章算术把246个问题分为九章：,明代刊印的九章算术注,九章算术标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。 代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法,九章算术的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”。,、中国初等数学理论体系的发展时期（东汉初年到魏晋南北朝）,从东汉初年到魏晋南北朝，随着社会生产力的逐步提高，我国初等数学理论体系日益完善。这一时期，涌现出一批处于世界第一流的数学家及其专著，
12、使初等数学理论体系日益成熟。其中刘徽及其九章算术注尤为突出。,公元1世纪至8世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家,1、 刘徽与九章算术注 西汉年间，中国有了专门的数学著作：许商算术、杜忠算术、算数书和九章算术，其中前两部著作早已失传。,算数书，1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，算数书是公元前206年前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂 。,对中国传统数学理论的研究,九章算术 是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完
13、成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的九章算术注自序中可以知道：他早年系统地学习过九章算术，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了九章算术注。 九章算术成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前200年）和大司农中丞耿寿昌（约前50年）的整理。,九章算术注对数学方法的贡献 、开始了其独特的推理论证的尝试。 “析理以辞，解体用图。”“开辟了我国古代数学理论化的道路” 。、创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；、他对勾股测量问题进行了深
14、入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法 。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九章算术注丰富了九章算术的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。 诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”,设圆面积为S0、半径为 r、圆内接正n边形边长为 ln 、周长为 Ln、面积为 Sn 。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为 l2n , L2n , S 2n 。 刘徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n,其次知道了圆内接正n 边形的周长 Ln，又可求得正2n边形的面积，如
15、果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式： S2n S0 S2n + ( S2nSn ).,割圆术的基本原理,从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”,、周髀算经与赵爽的勾股图说,周髀算经传世，由赵爽作注，附于首章的勾股图说，是价值很高的文献。他对勾股定理进行了深刻的论述，简叙为“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即为弦。”即： a2+b2=c2 赵爽（约公元世纪，三国吴人），又名婴，字君卿。自述“负薪余日，聊观周髀”，可见出身贫寒。他对周髀进行了深入研究，作出了详实的注解。他主张
16、学习要虚心，要善于向别人学习，要注意反复思考和独立思考，这些，至今仍有教育意义。,2002年国际数学家大会会徽,、孙子算经与“中国剩余定理”,东汉初年，孙子所著孙子算经是我国古算术中富有独创性的专著之一。其中提出的“孙子问题”被西方数学史家称为“中国剩余定理”，使中国古算这一成果受到世界瞩目。,“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？” 孙子问题相当于求解一次同余式组 N2（mod3）3（mod5）2（mod7） 这个问题源于历法编算中的求上元积年问题 其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。. 计算过程为：N=702+213+1522105. 显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法： 70 =2571(mod 3)0(mod 5)0(mod 7), 21 = 370(mod 3)1(mod 5)0(mod 7) , 15=350(mod 3)0(mod 5)1(mod 7) . 由题设，用3、5
