九年级数学(浙教版)下册课件:2.3《三角形的内切圆》(4)

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1、2.3 三角形的内切圆,确定圆的条件是什么?,角平分线的定义、性质和判定都是什么?,由于不共线三点确定一个圆,因此每一个三角形都有且只有一个外接圆,圆心是三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等。三角形的外心可能在三角形内(锐角三角形),可能在三角形的一边上(直角三角形的外心是斜边的中点),可能在三角形外面(钝角三角形).,如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?,三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如,已知: ABC(如图) 求作:和ABC的各边都相切的圆,作法:1. 作ABC、 ACB的平分

2、线BM和CN,交点为I.,I,D,例1 作圆,使它和已知三角形的各边都相切,分析,2. 过点I作IDBC,垂足为D.,3. 以I为圆心,ID为半径作I.,I就是所求的圆.,D,A,E,B,C,F,O,1. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.,2. 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.,读句画图:,作直线m与O相切于点D, 作直线n与O相切于点E, 直线m和直线n相交于点A;,以点O为圆心,1cm为半径画O;,作直线l与圆O相切于点F, 直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.,1.如图1,

3、ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆, 点O叫ABC的 , 它是三角形 的交点。,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2,DEF是I的 三角形, I是DEF的 圆, 点I是 DEF的 心, 它是三角形 的交点。,外切,内切,内,三个角平分线,3. 如上图,四边形DEFG是O的 四边形, O是四边形DEFG的 圆.,内切,外切,三角形内心的性质:,1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等; 2. 三角形的内心在三角形的角平分线上;,1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等; 2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上;,三角形外心的性质:,1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等

4、( ) 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 ( ) 3. 等边三角形的内心和外心重合; ( ) 4. 三角形的内心一定在三角形的内部( ) 5. 菱形一定有内切圆( ) 6. 矩形一定有内切圆( ),错,错,对,对,错,对,一 判断题:,如图, ABC的顶点在O上, ABC的各边 与I都相切,则ABC是I的 三角形; ABC是O的 三角形; I叫ABC的 圆; O叫ABC的 圆,点I是ABC的 心, 点O是ABC的 心,外切,内接,内切,外接,内,外,二 填空:,(2)若A=80 ,则BOC = 度。 (3)若BOC=100 ,则A = 度。,解:,130,20,(1)点O是ABC的内心

5、,, BOC=180 (1 3),= 180 (25 35 ),=120 ,同理 3= 4= ACB= 70 =35 , 1= 2= ABC= 50= 25,理由: 点O是ABC的内心,, 1 3 = (ABC+ ACB), 1= ABC, 3= ACB,= 180 ( 90 A ),= (180 A ),= 90 + A,= 90 A,答: BOC =90 + A,(4)试探索: A与BOC之间存在怎样的数量关系?请说明理由。,在OBC中,,BOC =180 ( 1 3 ),1. 本节课从实际问题入手,探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角

6、形的内切圆、圆的外切三角形概念,并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与 “外心”的区别, 4. 利用三角形内心的性质解题时,要注意整体思想的运 用,在解决实际问题时,要注意把实际问题转化为数学问题。,课堂小结:,D,例2、如图,一个木摸的上部是圆柱,下部是底面 为等边三角形的直棱柱圆柱的下底面是圆是直 三棱柱上底面等边三角形的内切圆已知直三棱 柱的底面等边三角形边长为cm,求圆柱底面的 半径。,.,A,B,C,a,b,c,r,r =,a+b-c,2,例:直角三角形的两直角边分别是5cm,12cm .则其内切圆的半径为_。,r,O

7、,已知:如图,在RtABC中,C=90,边BC、AC、AB的长分别为a、b、c,求求其内切圆O的半径长。,2,E,D,图(1),图(2),说出下列图形中圆与四边形的名称,四边形ABCD叫做O的外切四边形,四边形ABCD叫做O的内接四边形,O,B,A,探讨3: 设ABC是直角三角形,C=90,它 的内切圆的半径为r,ABC 的各边长分别为a、b、c,试探讨r与a、b、c的关系.,C,c,b,a,F,E,D,r,结论:,已知:在ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。,A,B,C,F,D,E,x,x,13-x,13-x,

8、9-x,9-x,(13-x)+(9-x)=14,略解:设AFx,则BF=13-x,由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x, DC=EC=9-x,又BD+CD=14,解得x=4,答:AF=4 BD=9 CE=5,AF=4,BD=9,CE=5,如图,O是ABC的内心, BAC与BOC有何数量关系? 试着作一推导.,探讨1:,结论:,填空:,1. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在圆的_. 2.如图,O是ABC的内心,则 OA平分_, OB平分_, OC平分_,. (2) 若BAC=100,则BOC=_.,1,无数,内部,BAC,140,ABC,ACB,探讨

9、2: 设ABC 的内切圆的半径为r,ABC 的各边长之和为L,ABC 的面积S,我们会有什么结论? 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L 2AD+2BE+2CE=L 2AD=L2(BE+CE) AD=? ? ?,C,D,E,F,三角形面积 (L为三角形周长,r为内切圆半径),r,例3 如图,朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑,以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等,ACBC,BC=30米,AC=40米。请你帮助计算一下,镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远?,雕塑中心M到道路三边的距离相等 点M是ABC的内心, 连结AM、BM、C

10、M,设M的半径为r米, M分别切AC、BC、AB于点D、E、F, 则MDAC, ME BC, MF AB, 则 MD= ME= MF=r, 在Rt ABC 中,AC=40,BC=30, AB=50, ABC的面积为 ACBC = 4030= 600, 又 ABC的面积为 (ACMD+BC ME+AB MF) =20 r+15 r+25 r=60 r 60 r= 600, r=10 答:镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。,解:,思考 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点(如图所示)。已知ACBC,BC=3千米,AC=4千米。现想在ABC内建一加油站M,使它到三条公路的距离相等,请你帮助计算一下,加油站M应建在离公路多远的地方?,1.如图, ABC 的内心为I,外心为O.,求证:,(2) BOC = 4BIC 360 ,2.如图,I是ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交ABC的外接圆于点E.,求证:,(1) EI = EB ;,(2)IE = AE DE .,分析,再见,

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