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1、2011年高考数学试题分类汇编 专题推理与证明 理2011年高考试题数学（理科）推理与证明一、选择题:1. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 A3125 B5625 C0625 D8125【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确, 所以选D.2(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是答案：A 解析：由题意可
2、知，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，党小圆沿着大圆内壁的逆时针方向滚动时，点M沿着直线向右移动，而点N先沿着直线向下移动，再沿着直线向上移动，故选A.二、填空题:3. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.4.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直
3、线【答案】【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】正确，令满足；错误，若，过整点（1,0）；正确，设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立；错误，当与都是有理数时，令显然不过任何整点；正确. 如：直线恰过一个整点【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。5. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1
4、n=2n=3n=4由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 答案：21，43解析：根据着色方案可知，n=6时，若有3个黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形有4+3+2+1+1=11种，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有3+11+6+1=21种.n=6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，画出图形可分为：有2个黑色正方形相邻时，共23种，有3个黑色正方形相邻时，共12种，有4个黑色正方形相邻时，共5种，有5个黑色正方形相邻时，共2种，有6个黑色正方形相邻时，共1种.故共有23+12+5+2+1=4
5、3种.6(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即7、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_【答案】1【解析】因为，所以,故的实部是1.8. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1） ；（2） .答案：2; 1093答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有
6、个，有个0的有个，有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：。又恰为2进制的最大7位数，所以。三、解答题:9(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）10.(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）（）设证明，（），证明.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】：()由于，所以要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：由于，上式显然成立，所以原命题成立。（）设=，=，则=，=
7、，=，=，所要证明不等式即为，1，1，由（）知所证明的不等式成立.11. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（）证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对
8、任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意12. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有解：由知，而且，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.解法1 记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，又因为，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2 由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.
9、综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.当时，显然成立，假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.13. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,【解析】（1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述14(2011年高考广东卷理科
10、21)（本小题满分14分）（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；【解析】解：（1）证明：切线的方程为当当 （2）的方程分别为求得的坐标，由于，故有1）先证：（）设当当（）设当注意到2）次证： （）已知利用（1）有 （）设，断言必有若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。故必有再由等价式1），综上， （3）求得的交点而是的切点为的切线，且与轴交于，由（）线段Q1Q2，有当在（0，2）上，令由于在0，2上取得最大值故,故15. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，
11、求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：（）的定义域为，令，解得，当时，在（0，1）内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值（）（1）由（）知，当时，有，即，从而有，得，求和得,即.（2）先证.令，则,于是由（1）得，即.再证.记，令，则，于是由（1）得.即，综合，（2）得证.16.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，(II).17.(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分1
12、2分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【解析】：（） 故（）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率由（），当即有故于是即。故法二：所以是上凸函数，于是因此故综上：18(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
13、（2）设，则对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；当n-1被3整除时，解数一共有：当n-1被3除余1时，解数一共有：当n-1被3除余2时，解数一共有：19(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）
