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1、2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编 专题三 二次函数和指数函数2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编【高考预测】1.二次函数的图象和性质的应用2.指数函数与对数函数的图象和性质的应用3.函数的应用4.二次函数闭区间上的最值的问题5.三个“二次”的综合问题6.含参数的对数函数与不等式的综合问题【易错点点睛】易错点1 二次函数的图象和性质的应用 1(2012模拟题精选)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围【错误答案】 依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f(x)=-3x
2、2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f0t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立设g(x)= 3x2-2x=3(x-)2-，当x=时，g(x)min=-t-即t的取值范围是-,+.【错解分析】 上面解答由t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立得t大于或等于3x2-2x的最小值是错误的因为若tg(x)min只能说存在一个x的值能使t3x2-2x成立，但不能保证x在(-1，1)上的每一个值都能使t3x2-2x成立因而t应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值【正确解答】 解法1：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.则f(x
3、)=-3x2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f(x)=-3x2+2x+t0在 (-1，1)上恒成立，即t3x2-2x在(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x=3(x-)2-对称轴为x=g(x)0即f(x)在(-1，1)上是增函数故t的取值范围是5，+ 2(2012模拟题精选)已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x时，f(x). (1)求a的值;(2)设0a1，an+1=f(an)，n N*，证明：an.【错误答案】 第(1)问，f(x)=ax-x2=-(x-a)2+，即a21-1a1 又当x时,f(x)，即f(x) 在上恒成立f(x)在上的最小值为f()f()即. 综合，
4、知a1【错解分析】 上面解答错在f(x)在的最小值的计算上，由得-1a1(-,)，对称轴x=离端点较远，因此,f(x)的最小值应是f().而不是f(). ()假设n=k(k2)时，不等式0ak成立，因为f(x)=x-x2的对称轴x=知f(x)在0，上为增函数，所以0ak得0f(ak)f()于是有0ak+1-2x的解集为(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围【错误答案】 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)解得0-2-或-2+a0故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-，-2-)(-2+，0)【错
5、解分析】 上面解答由f(x)+2x0的解集为(1，3)忽视了隐含条件a0所以(1)应舍去a=1另外第(2)问若没有a0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-，从而很不容易求得a的范围【正确解答】 (1)f(x)+2x0的解集为(1，3),f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 因为方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.由于a0，舍去a=1将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=- x2-x-. (2
6、)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0，可得f(x)的最大值为-.由， 解得a-2-或-2+af(0)f(-2)Bf(-2)f(2)(0)Cf(0)f(-2)f(2)D. f(-2)f(0)f(2) 答案：B解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=b=-1. f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. f(-2)f(2)f(0).2 若函数y=x2-2x+3在闭区间0，m上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是_. 答案：1,2解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又f(0)3.结合图象易得，2m
7、1. m的取值范围是1，2.3 设函数f(x)=ax2+bx+1(1，bR)(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)0成立，求f(x)的表达式答案：解析：（1）f(-1)=0a-b+1=0b=a+1,又对任意实数均有f(x) 0成立，f(x)=x2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x-2，2时，g(x)=xf(x)-kx是单调递增，求实数k的取值范围 答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g(x)=3x22222+4x+1-k0在-2，2上恒成立g(x)在-2，2上的最小值g(x)(-)4 已知二次函数f(x)=(lga)x2+
8、2x+4lga的最大值为3，求a的值答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，lga0并且整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=易错点2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1(2012模拟题精选)函数y=elnx-|x-1|的图像大致是 ( )【错误答案】 选A或B或C【错解分析】 选A，主要是化简函数y=elnx-|x-1|不注意分x1和x1两种情况讨论，数，认为y=log2x和y=cos2x在(0，1)上是凸函数其实y=cos2x在(0，)是凸函数，在(，1)是凹函数.【正确解答】 B 根据条件，当0x1x2恒成立知f(x)在(0，1
9、)上是凸函数，因此只有y=log2x适合y=2x和y=x2在(0，1)上是函数y=cos2x在(0，)是凸函数，但在(，1)是凹函数，故选B 3(2012模拟题精选)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0, )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为 ( )A.(-，-) B(-，+)C(0，+) D(-，-)【错误答案】 选A或C【错误答案】 (1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a)f-1(x)=ln(ex-a)(xlna)，f(x)=ln(ex+a)= (2)由m-f-1(x)+lnf(x)0得-ln+ln(ex-a)mln(ex-a)+ln
10、在(ln(3a)，ln(4a)上恒成立设h(x)=ln(ex-a)+ln. S(x)=-ln+ln（ex-a)即mh(x)mni.且mS(x)maxS(x)，h(x)=ln(ex-a)+ln(1+)在ln(3a)，ln(4a)上是增函数h(x)min=ln(2a)+ln=ln(a) S(x)max=ln(3a)-ln=ln(a) ln(a)mlna)，f(x)= .即aema，于是，得ln amln(a)解法2 由m-f-1(x)+ln(f(x)0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+xmln(ex-a)+ln(ex+a)-x设(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x，r(x)=ln(e
11、x-a)+ln(ex+a)-x，于是原不等式对于xln(3a)，ln(4a)恒成立等价于 (x)mr(x) 由(x)=+1,-1注意到0ex-aex0，r(x)0，从而可知 (x)与r(x)均在ln(3a)，h(4a)上单调递增，因此不等式成立，当且仅当(ln(4a)mr(ln(3a)，即ln(a)mln(a)【特别提醒】论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.【变式探究】1 已知函数f(x)=(ex+e2-x)(x1)(其中e为自然对数的底数)，则 ( )Af-1()f-1() Bf-1()f-1()C.f-1()0恒成立。解析：（1）当a1时，只要即与1矛盾. (2)当0a1时，设g(x)=只要0g(x)1.a=时，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒为正。当0a时，当易错点 3 函数的应用 1(2012模拟题精选)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为x=10时，获得最大利润L=-015102+30610+30=456万元选B 2甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲
