《高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 1 / 20 20122012 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用 2.32.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 【高考目标导航】 一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示 1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点； 2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值 及求参数值等问题是重点，也是难
2、点； 3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题 【考纲知识梳理】 一、函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个，都有 f(-x)=f(x)，那么 函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个，都有 f(-x)=-f(x)，那 么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中， 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于
3、 零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 （填 “相同” 、 “ 相反” ） 。 2、在公共定义域内， 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 2 / 20 亦即： （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需 先证明再利用。 3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0. 4、对称性
4、：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 6、可逆性： )()(xfxf )(xf是偶函数； )()(xfxf)(xf奇函数； 7、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf )()(xfxf0)()(xfxf 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数。 三、周期性 1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)
5、=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。 2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫 做它的最小正周期。 【要点名师透析】 一、函数奇偶性的判定 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 3 / 20 1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ，即： （1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 若 f(-x)=-f(x)（或 f(-x) +f(x)=0） ，则为奇函数； 若 f(
6、-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则 f(x)为偶函数； 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x)，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 一些重要类型的奇偶函数 （1）函数 f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x为奇函数； （2）函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0 且 a1）为奇函数； （3）函数 f(x)=loga( 1 1 x x )为奇函数（a0 且 a1）; （4）函数 f(x)= l
7、oga( 2 1xx)为奇函数（a0 且 a1） 2、例题解析 例 1讨论下述函数的奇偶性： );111(1)()3( ; )0)(1(1 )0(0 )0)(1(1 )()2(; 2 2116 )() 1 ( 22 2 xxogxf xxxn x xxxn xfxf x xx );0( | )()4( 22 a aax xa xf常数 解：（1）函数定义域为 R， 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 4 / 20 )( 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 )(xfxf x xx x x x x x x xx ， f(x)为偶函数； （另解）
8、先化简： 1441 4 116 )( xx x x xf ，显然 )(xf 为偶函数；从这可以看出，化简 后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： 设 );()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 )()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)=f(x)； 由、知，对 xR 有 f(x) =f(x)， f(x)为奇函数； （3） 1 01 01 2 2 2 x x x ，函数的定义域为 1x ， f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的图象
9、由两个点 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数； （4）x2a2, 要分 a 0 与 a 0 时， ), 0() 0 , ( | aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 )(, 0| ，当 a 0 时，f(x)为奇函数； , 2 , 2 , 2 )(, 0| 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 )(,0, 0 3 3 5 3 ) 2 () 2 (xfa a f a f时当 既不是奇函数，也不是偶函数 例 2f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在
10、5，）上单调递减， 试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 5 / 20 解析：任取x1x25，则x1x25 因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1） f（x2） ，即f（x）在（，5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 （1）分析定义域是否关于原点对称； （2）对 x 的值进行分段讨论，寻求 f(X)与 f(-X)在各段上的关系； （3） 综合（2）在定义域内 f(X)与 f(-X)的关系，从而判断 f(X)的奇偶性。 注：奇偶性是函数的一个整体性质，
11、不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析 例 1已知函数 2 2 4 (0) ( ) 4 (0) xx x x f x xx x x 。试判断( )f x的奇偶性 分析：确定定义域判断每一段上()fx与( )f x的关系判断整个定义域上()fx与( )f x的关 系结论。 解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当0 x 时，0 x 2 22 2 22 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0,0, 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0()( ) ( ) xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx f
12、x xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述，对于x都有成立， 为偶函数。 注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围 取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 6 / 20 例 2判断函数的奇偶性 解析：显然函数 f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称， 当 x0，则 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 当 x0 时,-x0，则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综
13、上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(-x)=-f(x)成立，函数 f(x)为奇函数； 三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤 （1）利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现 f(x),f(-x)）; （2）巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； （3）找出 f(X)与 f(-X)关系，得出结论。 2、例题解析 例 1已知函数 f(x)对一切 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(-3)=a，用 a 表示 f(12) 分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f(-x)与 f(x)的关系，进而得
14、出函数的奇偶性；解 决本题的关键是在 f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现 f(-x)；用 a 表示 f(12)实际上是如何用 f(-3)表示 f(12)，解决该问题的关键是寻找 f(12)与 f(-3)的关系 解答： 1( ) ()( )( ), 0(0)2 (0),(0)0. ,(0)( )(), ()( ),( ) f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是，关于原点对称。 又函数对一切、都有 令，得 再令得 为奇函数。 (2)( 3)( ) (3)( 3). ()( )( ), (12)(66)(6)(6)2 (6)3 (3
15、3)4 (3)4 . faf x ffa f xyf xf y xyR fffffffa 且为奇函数， 又、， 例 2 设函数 )(xf 在 ),( 上满足 )2()2(xfxf ， )7()7(xfxf ，且在闭区间 0，7上，只有 0)3() 1 ( ff 2012 版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性精品学案 7 / 20 （1）试判断函数 )(xfy 的奇偶性； （2）试求方程 0)(xf 在闭区间 2005,2005 上的根的个数，并证明你的结论。 解析：（1）由 )2()2(xfxf ，得函数 )(xfy 的对称轴为 2x )5() 1(ff 而 ) 1() 1 (0)5(ff
16、f ，即 )(xf 不是偶函数 又 )(xf 在0，7上只有 0)3() 1 ( ff 0)0(f 从而知函数 )(xfy 不是奇函数 故函数 )(xfy 是非奇非偶函数 （2） )7()7( )2()2( xfxf xfxf )14()4( )14()( )4()( xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf 从而知函数 )(xfy 的周期为 T=10 又 0) 1 ()3( ff 0)9()7()13()11(ffff 故 )(xf 在0，10和 0 , 10 上均有 2 个根，从而可知函数 )(xfy 在0，2000上有 400 个根，在 2000，2005上有 2 个根，在 0 ,2000 上有 400 个根，在 2000,2005 上没有根。 函数
