《936编号高中数学必修5导学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《936编号高中数学必修5导学案(144页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学必修 5 导学案 1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题 学习过程 一、课前准备 试验:固定ABC 的边 CB 及B,使边 AC 绕着顶点 C 转动 思考:C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系 精确地表示出来? 二、新课导学 学习探究 探究 1: 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 RtABC 中,设 BC=a, AC=b,AB=c
2、, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有,又, sin a A c sin b B c sin1 c C c 从而在直角三角形 ABC 中, sinsinsin abc ABC ( 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, 有 CD=,则, sinsinaBbA sinsin ab AB 同理可得, sinsin cb CB 从而 sinsin ab AB sin c C 高一数学必修 5 导学案 类似可推出,当ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立请
3、你试试导. 新知:正弦定理正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sinsin ab AB sin c C 试试: (1)在中,一定成立的等式是( )ABC A B.sinsinaAbBcoscosaAbB C. D.sinsinaBbAcoscosaBbA (2)已知ABC 中,a4,b8,A30,则B 等于 理解定理理解定理 (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使, ,;sinakAsinckC (2)等价于 , sinsin ab AB sin c C sinsin cb CB sin a A sin c C
4、(3)正弦定理的基本作用为: 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如; sin sin bA a B b 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如; sinsin a AB b sinC (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形解三角形 典型例题 例 1. 在中,已知,cm,解三角形ABC45A 60B 42a 变式:在中,已知,cm,解三角形ABC45B 60C 12a 高一数学必修 5 导学案 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C 中,求 和 变式:在3,60 ,1,ABCbBcaA C 中,求 和 三、总结提升 学习小
5、结 1. 正弦定理: sinsin ab AB sin c C 2. 正弦定理的证明方法:三角函数的定义, 还有 等积法,外接圆法,向量法. 3应用正弦定理解三角形: 已知两角和一边; 已知两边和其中一边的对角 知识拓展 ,其中为外接圆直径. sinsin ab AB 2 sin c R C 2R 学习评价学习评价 高一数学必修 5 导学案 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在中,若,则是( ).ABC cos cos Ab Ba ABC A等腰三角形 B等腰三角形
6、或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 2. 已知ABC 中,ABC114, 则 abc 等于( ). A114 B112 C11 3 D223 3. 在ABC 中,若,则与的大小关系为( ).sinsinABAB A. B. ABAB C. D. 、的大小关系不能确定ABAB 4. 已知ABC 中,则= sin:sin:sin1:2:3ABC : :a b c 5. 已知ABC 中,A,则603a = sinsinsin abc ABC 课后作业 1. 已知ABC 中,AB6,A30,B,解此三角形120 2. 已知ABC 中,sinAsinBsinCk(k1)2k (k0),求实数 k
7、的取值范围为 高一数学必修 5 导学案 1.1.2 余弦定理 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一、课前准备 复习 1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = 复习 2:在ABC 中,已知,A=45,C=30,解此三角形10c 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢? 二、新课导学 探究新知 问题:在中,、ABCAB、的长分别为、.BCCAcab AC , ACAC 同理可得: , 222 2cosabcbcA 222 2coscababC 高一数学必修 5 导学案 新知:余弦定
8、理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们 的夹角的 的积的两倍 思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: , , 222 cos 2 bca A bc 理解定理理解定理 (1)若 C=,则 ,这时90cosC 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例 (2)余弦定理及其推论的基本作用为: 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; 已知三角形的三条边就可以求出其它角 试试: (1)ABC 中,求3 3a 2c 150B b (2)ABC 中,求2
9、a 2b 31c A 典型例题 例 1. 在ABC 中,已知,求和3a 2b 45B ,A Cc 高一数学必修 5 导学案 变式:在ABC 中,若 AB,AC5,且 cosC,则 BC_5 9 10 例 2. 在ABC 中,已知三边长,求三角形的最大内角3a 4b 37c 变式:在ABC 中,若,求角 A 222 abcbc 高一数学必修 5 导学案 三、总结提升 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: 已知三边,求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边 知识拓展 在ABC 中, 若,则角是直角; 222 abcC
10、若,则角是钝角; 222 abcC 若,则角是锐角 222 abcC 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 a,c2,B150,则边 b 的长为( ).3 A. B. C. D. 34 2 34 22 2 22 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). A B C D6075120150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ). A Bx5513x13 C 2x Dx555 4. 在ABC 中,|3,|2,与的夹角
11、为 60,则|_AB AC AB AC AB AC 5. 在ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 ,则C 等于 222 bacab 高一数学必修 5 导学案 课后作业 1. 在ABC 中,已知 a7,b8,cosC,求最大角的余弦值 13 14 2. 在ABC 中,AB5,BC7,AC8,求的值.AB BC 1.1 正弦定理和余弦定理(练习) 学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容; 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形 学习过程 一、课前准备 复习 1:在解三角形时 已知三边求角,用 定理; 高一数学必修 5 导学案 已知两边和夹角,求第三边
12、,用 定理; 已知两角和一边,用 定理 复习 2:在ABC 中,已知 A,a25,b50,解此三角形 6 22 二、新课导学 学习探究 探究:在ABC 中,已知下列条件,解三角形. A,a25,b50; 6 2 A,a,b50; 6 50 6 3 2 A,a50,b50. 6 2 思考:解的个数情况为何会发生变化? 新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时) 高一数学必修 5 导学案 b a b a b a b a a 一 一 一 a,b一 A 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ab CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A
13、 C B1 A B A C B2 C H HH 试试: 1. 用图示分析(A 为直角时)解的情况? 2用图示分析(A 为钝角时)解的情况? 典型例题 例 1. 在ABC 中,已知,试判断此三角形的解的情况80a 100b 45A 变式:在ABC 中,若,则符合题意的 b 的值有_个1a 1 2 c 40C 高一数学必修 5 导学案 例 2. 在ABC 中,求的值60A 1b 2c sinsinsin abc ABC 变式:在ABC 中,若,且,求角 C55a 16b 1 sin220 3 2 abC 三、总结提升 学习小结 高一数学必修 5 导学案 1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决
14、); 2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决); 3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决); 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题 (既可用正弦定理, 也可用余弦定理, 可能有一解、 两解和无解三种情况) 知识拓展 在ABC 中,已知,讨论三角形解的情况 : 当 A 为钝角或直角时,必须才, ,a b Aab 能有且只有一解;否则无解; 当 A 为锐角时, 如果,那么只有一解;ab 如果,那么可以分下面三种情况来讨论:ab (1)若,则有两解;sinabA (2)若,则只有一解;sinabA (3)若,则无解sinabA 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A.
15、 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 a、b 为ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且,则的值= sin2 sin3 A B ab b ( ). A. B. C. D. 1 3 2 3 4 3 5 3 2. 已知在ABC 中,sinAsinBsinC357,那么这个三角形的最大角是( ). A135 B90 C120 D150 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ). A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加长度决定 4. 在ABC 中,sinA:sinB:sinC4:5:6,则 cosB