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1、高一数学必修 5 导学案 1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题 学习过程 一、课前准备 试验：固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系 精确地表示出来？ 二、新课导学 学习探究 探究 1： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 RtABC 中，设 BC=a， AC=b，AB=c
2、， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有，又， sin a A c sin b B c sin1 c C c 从而在直角三角形 ABC 中， sinsinsin abc ABC ( 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义， 有 CD=，则， sinsinaBbA sinsin ab AB 同理可得， sinsin cb CB 从而 sinsin ab AB sin c C 高一数学必修 5 导学案 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请
3、你试试导. 新知：正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sinsin ab AB sin c C 试试： （1）在中，一定成立的等式是（ ）ABC A B.sinsinaAbBcoscosaAbB C. D.sinsinaBbAcoscosaBbA （2）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使， ，；sinakAsinckC （2）等价于 ， sinsin ab AB sin c C sinsin cb CB sin a A sin c C
4、（3）正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； sin sin bA a B b 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如； sinsin a AB b sinC （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形解三角形 典型例题 例 1. 在中，已知，cm，解三角形ABC45A 60B 42a 变式：在中，已知，cm，解三角形ABC45B 60C 12a 高一数学必修 5 导学案 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C 中，求 和 变式：在3,60 ,1,ABCbBcaA C 中，求 和 三、总结提升 学习小
5、结 1. 正弦定理： sinsin ab AB sin c C 2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义， 还有 等积法，外接圆法，向量法. 3应用正弦定理解三角形： 已知两角和一边； 已知两边和其中一边的对角 知识拓展 ，其中为外接圆直径. sinsin ab AB 2 sin c R C 2R 学习评价学习评价 高一数学必修 5 导学案 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在中，若，则是（ ）.ABC cos cos Ab Ba ABC A等腰三角形 B等腰三角形
6、或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 2. 已知ABC 中，ABC114， 则 abc 等于（ ）. A114 B112 C11 3 D223 3. 在ABC 中，若，则与的大小关系为（ ）.sinsinABAB A. B. ABAB C. D. 、的大小关系不能确定ABAB 4. 已知ABC 中，则= sin:sin:sin1:2:3ABC : :a b c 5. 已知ABC 中，A，则603a = sinsinsin abc ABC 课后作业 1. 已知ABC 中，AB6，A30，B，解此三角形120 2. 已知ABC 中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，求实数 k
7、的取值范围为 高一数学必修 5 导学案 1.1.2 余弦定理 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一、课前准备 复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 复习 2：在ABC 中，已知，A=45，C=30，解此三角形10c 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 二、新课导学 探究新知 问题：在中，、ABCAB、的长分别为、.BCCAcab AC ， ACAC 同理可得： ， 222 2cosabcbcA 222 2coscababC 高一数学必修 5 导学案 新知：余弦定
8、理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们 的夹角的 的积的两倍 思考：这个式子中有几个量？ 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： ， ， 222 cos 2 bca A bc 理解定理理解定理 （1）若 C=，则 ，这时90cosC 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 （2）余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角 试试： （1）ABC 中，求3 3a 2c 150B b （2）ABC 中，求2
9、a 2b 31c A 典型例题 例 1. 在ABC 中，已知，求和3a 2b 45B ,A Cc 高一数学必修 5 导学案 变式：在ABC 中，若 AB，AC5，且 cosC，则 BC_5 9 10 例 2. 在ABC 中，已知三边长，求三角形的最大内角3a 4b 37c 变式：在ABC 中，若，求角 A 222 abcbc 高一数学必修 5 导学案 三、总结提升 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展 在ABC 中， 若，则角是直角； 222 abcC
10、若，则角是钝角； 222 abcC 若，则角是锐角 222 abcC 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知 a，c2，B150，则边 b 的长为（ ）.3 A. B. C. D. 34 2 34 22 2 22 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（ ）. A B C D6075120150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范围是（ ）. A Bx5513x13 C 2x Dx555 4. 在ABC 中，|3，|2，与的夹角
11、为 60，则|_AB AC AB AC AB AC 5. 在ABC 中，已知三边 a、b、c 满足 ，则C 等于 222 bacab 高一数学必修 5 导学案 课后作业 1. 在ABC 中，已知 a7，b8，cosC，求最大角的余弦值 13 14 2. 在ABC 中，AB5，BC7，AC8，求的值.AB BC 1.1 正弦定理和余弦定理（练习） 学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形 学习过程 一、课前准备 复习 1：在解三角形时 已知三边求角，用 定理； 高一数学必修 5 导学案 已知两边和夹角，求第三边
12、，用 定理； 已知两角和一边，用 定理 复习 2：在ABC 中，已知 A，a25，b50，解此三角形 6 22 二、新课导学 学习探究 探究：在ABC 中，已知下列条件，解三角形. A，a25，b50； 6 2 A，a，b50； 6 50 6 3 2 A，a50，b50. 6 2 思考：解的个数情况为何会发生变化？ 新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时） 高一数学必修 5 导学案 b a b a b a b a a 一 一 一 a,b一 A 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ab CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A
13、 C B1 A B A C B2 C H HH 试试： 1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ 典型例题 例 1. 在ABC 中，已知，试判断此三角形的解的情况80a 100b 45A 变式：在ABC 中，若，则符合题意的 b 的值有_个1a 1 2 c 40C 高一数学必修 5 导学案 例 2. 在ABC 中，求的值60A 1b 2c sinsinsin abc ABC 变式：在ABC 中，若，且，求角 C55a 16b 1 sin220 3 2 abC 三、总结提升 学习小结 高一数学必修 5 导学案 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决
14、）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题 （既可用正弦定理， 也可用余弦定理， 可能有一解、 两解和无解三种情况） 知识拓展 在ABC 中，已知，讨论三角形解的情况 ： 当 A 为钝角或直角时，必须才, ,a b Aab 能有且只有一解；否则无解； 当 A 为锐角时， 如果，那么只有一解；ab 如果，那么可以分下面三种情况来讨论：ab （1）若，则有两解；sinabA （2）若，则只有一解；sinabA （3）若，则无解sinabA 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A.
15、 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知 a、b 为ABC 的边，A、B 分别是 a、b 的对角，且，则的值= sin2 sin3 A B ab b （ ）. A. B. C. D. 1 3 2 3 4 3 5 3 2. 已知在ABC 中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大角是（ ）. A135 B90 C120 D150 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加长度决定 4. 在ABC 中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则 cosB
