1024编号高中数学必修一《集合与函数》

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1、集合的概念与集合的表示概概念念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性元素不重复元素无顺序列举法元素间用“，”隔开写清楚集合中元素的代号，如xR|x0，不能写成x2 ；说明该集合中元素的性质；集集合合表表示示方方法法描述法所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如 A、 B、 C 表示集合，用小写拉丁字母 a、 b、 c 表示集合中的元素，如果 a 是集合 A 中的元素就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A

2、的元素，就说 a 不属于 A，记作 aA。常用数集及其记法常用数集及其记法 N 为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或 N+为正整数组成的集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成的集合。例题例题 1 判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）R=R；（2）方程组的解集为x=1，y=2； 1 2 xy xy （3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21；（4）平面内线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN。答案：答案：（1）R=R 是不正确的，R 通常为 R=x|x 为实数，即 R 本身可表示为全体实数的集合，而R则表示含有一个

4、点拨：知识点拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）|的形式；对描 ? ? y x 述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。例题例题 2 已知 a1，1，a2，则 a 的值为_。答案：答案：a1，1，a2， a 可以等于 1，1，a2。（1）当 a=1 时，集合则为1，1，1，不符合集合元素的互异性。故 a1。（2）同上，a=1 时也不成立。（3）a=a2时，得 a=0 或 1，a=1 不满足，舍去，a=0 时集合为1，1，0。综上，a=0。知识点拨：知识

5、点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是（） A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长 C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学知识点拨：知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为 A、B、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而 D 中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将 D 中“身高较高的男同学”改为“

6、身高 175 cm 以上的男同学”，则能构成集合。答案：答案：D 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。例题例题判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于 1.75 m 的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。答案：答案：（1）高一（1）班中身高大于 1.75 m 的学生是确定的，因此身高大于 1.75 m 的学生可以组成集合。（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组

8、下列集合中，不同于另外三个集合的是（） A. x|x1 B. y|（y1）20 C. x1 D. 1 5. 集合 M（x，y）|xy0，xR，yR是指（） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第一、三象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 6. （x，y）|xy6，x，yN用列举法表示为_ _。 1. D 2. D 解析：表示无限集，不能一一列举，故不正确；含有相同的元素，不正确；、正确。 3. A 4. C 解析：A、B、D 三项表示的集合都是1，而 C 选项表示含有一个方程的集合。 5. D 解析： xy0 且 y0 或 x0。因此集合 M

9、表示第二、四象限内的点集。 6. （0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）集合的运算子子集集真真子子集集定定义义对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，称集合 A 为集合 B 的子集若集合 AB，但存在元素 xB，且 x A，称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言符号语言若任意 xA，有 xB，则 AB。若集合 AB，但存在元素 xB，且 x A，则 AB 表示方法表示方法 A 为集合 B 的子集，记作 AB 或 B A。 A 不是 B 的子集时，记作

10、 AB 或 B A。若集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B 或 BA。性性质质 AA A AB，BCAC AB，且 BCAC 子集个数子集个数含 n 个元素的集合 A 的子集个数为 n 2 含 n 个元素的集合 A 的真子集个数为 1 n 2 空空集集不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为 A；若 A 非空（即 A），则有A。集合的运算： 1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或 xB。（3）图形语言（Ven

11、n 图）表示：。 2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且 xB。（3）图形语言表示（Venn 图）：。 3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集。（2）符号语言表示：A=x|xU，且 xA。（3）图形语言表示（Venn 图）：，阴影部分表示A。例题例题 1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1）表示空集；（

12、2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果 AB 且 AB，那么 B 必是 A 的真子集；（6）AB 与 BA 不能同时成立。思路导航：思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即答案：答案：（1）不正确。应该改为：，表示这个集合的元素是。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正

13、确。1，2，3与3，2，1表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1，。（5）正确。（6）不正确。A=B 时，AB 与 BA 能同时成立知识点拨：知识点拨：结合本题，要注意以下几点：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的符号“”，不能写成，也不能写成。（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）正确。AB 包括两种情形：AB 和

14、A=B。（6）不正确。A=B 时，AB 与 BA 能同时成立。例题例题 2 已知集合 A=x|ax23x+2=0，aR，若 A 中元素至多只有一个，求 a 的取值范围。知识点拨：知识点拨：对于方程 ax23x+2=0，aR 的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0 或 a0 时，方程的根的情况是不一样的。则集合 A 的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：答案：（1）a=0 时，原方程为3x+2=0 x=，符合题意； 3 2 （2）a0 时，方程 ax23x+2=0 为一元二次方程，=98a0a。 8 9 当 a时，方程 ax23x+2=0 无实根或有两个相等实数根，这都

15、符合题意。 8 9 综合（1）（2），知 a=0 或 a。 8 9 例题例题 3 设集合 Ax|xa|1，xR，Bx|1x5，xR。若 AB，则实数 a 的取值范围是（） A. a|0a6 B. a|a2 或 a4 C. a|a0 或 a6 D. a|2a4 知识点拨：知识点拨：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。由|xa|1 得1xa1，即 a1xa1。 AB 可以分两种情况来讨论，一种是 A 集合在 B 集合的左边，一种是 A 集合在 B 集合的右边。如图，由图可知 a11 或 a15，所以 a0 或 a6。答案：答案：C 随堂练习：随堂练习：满足1，3A=1，3，5的所有集合 A 的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 知识点拨：知识点拨：根据 AB 的定义可知，集合1，3，5应该是集合1，3和 A 的元素并在一起构成的集合，所以 A 中必有元素 5，且其他元素只能从 1，3 中选出一个或两个或不选，因此 A 有四种可能：5，1，5，3，5，1，3，5。答案：答案：D （答题时间：（答题时间：15 分钟）分钟） 1. 集合 A2，3，5，当 xA 时，若 x1A，x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元”，则 A 中孤立元的个数为_

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