886编号高中数学必修2

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1、 数学必修 2 知识点总结数学必修 2 知识点总结 一、直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank 当时，； 当时，； 当时，不存 90,00k 180,900k 90k 在。 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx y

2、y k 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； 21 xx (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程）直线方程 点斜式：点斜式：直线斜率 k，且过点)( 11 xxkyy 11, y x 注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

3、bkxy 两点式：两点式：（）直线两点， 11 2121 yyxx yyxx 1212 ,xxyy 11, y x 22,y x 截矩式：截矩式：1 xy ab 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距截距分别为。lx( ,0)ay(0, )blxy, a b 一般式：一般式：（A，B 不全为不全为 0）0CByAx 注意：注意：各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2 平行于 x 轴的直线：（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线：（a 为常数） ； by ax （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系（一）平行直线系 平行于已

4、知直线（是不全为 0 的常数）的直线系：0 000 CyBxA 00,B A （C 为常数）0 00 CyBxA （二）过定点的直线系（二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系：，直线过定点； 00 xxkyy 00, y x （） 过两条直线，的交点的直线系方程0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 为 （为参数） ，其中直线不在直线系中。0 222111 CyBxACyBxA 2 l （6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直 当，时， 111: bxkyl 222 :bxkyl ； 212121 ,/bbkkll1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时

5、，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点）两条直线的交点 相交0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组的一组解。 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解 ； 方程组有无数解与重合 21/l l 1 l 2 l （8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 1122 ( ,),A x yB xy，（） 则 22 2121 |()()ABxxyy （9）点到直线距离公式 ：）点到直线距离公式 ： 一点到直线的距离 00, y xP0: 1 CByAxl

6、22 00 BA CByAx d （10）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程二、圆的方程 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程、圆的方程 （1）标准方程）标准方程，圆心，半径为 r； 2 22 rbyaxba, （2）一般方程）一般方程0 22 FEyDxyx 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为04 22 FED 2 , 2 ED FEDr4 2 1 22 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图04 22 FED04 22 FED 形。

7、（3）求圆方程的方法：）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法 ： 先设后求。一般都采用待定系数法 ： 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线，圆，圆心到l的距离为0:CByAxl 2 22 :rbyaxCbaC, ，则有；

8、22 BA CBbAa d 相离与Clrd相切与Clrd相交与Clrd （2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到0:CByAxl 2 22 :rbyaxC 一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 ；相离与Cl0相切与Cl0相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中 2 00 ryyxx 表示切点坐标，r 表示半径。 00, y x (3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程： 圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题) 2 00 ryyxx 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过

9、此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广) 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆， 2 2 1 2 11: rbyaxC 2 2 2 2 22 :RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条；rRd 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；rRd 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；rRdrR 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；rRd 当时，两圆内

10、含； 当时，为同心圆。rRd0d 三、立体几何初步三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE AD 几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且 相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥）棱锥 定义定义 ： 有一个面

11、是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何 体 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBAP 几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 （4

12、）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何 体 几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直径所在直线

13、为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点：斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不

14、变； 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，为底面周长，h 为高，为斜高，为高，为斜高，l 为母线）为母线） h chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱

15、体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V = ； S= 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 4、空间点、直线、平面的位置关系、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面）平面 平面的概念：平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内） ； 也可以用两个相对顶点的字

16、母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点与平面的关系：点 A 在平面内，记作；点不在平面内，记作AAA 点与直线的关系：点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作：Al； 点 A 在直线 l 外，记作 Al； 直线与平面的关系直线与平面的关系：直线 l 在平面内，记作 l；直线 l 不在平面内，记作 l。 （2） 公理） 公理 1： 如果一条直线的两点在一个平面内， 那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1：,Al Bl ABl （3）公理）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；