2006年全国数学建模B题题目及优秀论文赏析-

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1、B 题题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从 1981 年发现以来的 20 多年间，它 已经吞噬了近3000 万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称 AIDS，它是由艾滋病 毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免 疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被HIV 感染而裂解时，其数量会 急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS 发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量

2、减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少 要有效地降低CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法，目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用，而且成本也很高。 许多国家和医疗组织都在积极试验、 寻找更好的 AIDS 疗法 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件 1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那 韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数 量）。 193A

3、（见附件2）是将 1300多名病人随机地分为4组，每组按下述 4种疗法中的 一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很 高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷）， 这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平

4、）。 请你完成以下问题： （1）利用附件 1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继 续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治 疗）。 （2）利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准），并对较优的 疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下： 600mg zidovudine 1.60 美元，400mg didanosine 0.85 美元，2.25 mg zalcitabine 1.85 美元，400 mg nevirapine 1.20 美元。

5、如果病人需要考虑 4 种疗法的费用，对（2）中的评价和预测 （或者提前终止）有什么改变。 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、 电子邮件、 网上 咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和 参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的

6、公正、 公平性。 如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： B 甲 1304 所属学校（请填写完整的全名）： 山东理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 周利庭 2. 张洪雷 3. 杨丽娜 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 丁树江 日期： 2006 年 9 月 18 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

7、号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘要摘要 本文利用美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的 ACTG320 和 193A 数据， 在合理的假设基础上，通过线性插值拟合均匀的模拟出每个被调查者每周身体 中 CD4 细胞计数和HIV 浓度，对所有的被调查者每周的 CD4细胞计数和HIV浓度 求平均值，这样可以得到一个关于该疗法的从时间序列角度来说较为完全的数 据。用 SPSS 模拟出最优曲线，得出该疗法对人

8、体 CD4 细胞计数影响近似为三次 曲线，而对人体 HIV 浓度的影响在四十周以前与四十周以后可以分别用 S 曲线 和三次曲线较好的模拟，从而可以更好的预测未来疗效。 由于现行实验室艾滋病 入选标准为 CD4 细胞计数，所以我们根据 CD4 细胞计数的拟合曲线，参考 HIV 拟合曲线，得出应该在二十七周左右终止该疗法。 针对问题二中被随机分组的1300多名被调查者分别服用不同的药物组合的 跟随检测数据，沿用问题一的数据处理方法，用均匀插值填充从第零周到最后 一周的数据，得到四种疗法被调查者每周的CD4细胞计数时间序列数据，计算 出使用各种疗法的所有被调查者在每个周次的CD4细胞计数的均值，经过

9、用 SPSS多次模拟，拟合出较优的针对每种疗法的模型，继而可用此模型分别预测 每种疗法继续使用的疗效。 由于这些数据是在随机分组的人群中获得的，所以我 们假设这些样本是独立的，这样我们就可以采用统计学中的多个独立样本的非 参数检验法，利用SPSS11.5软件中的多个独立样本比较秩和检验功能完成，运 用Kruskal-Wallis H Test和中位数检验法在统计学意义上给出每种疗法的相对 疗效大小。在仅以CD4细胞计数为标准下，该四种疗法的疗效为：疗法四最好，疗法三次 之，疗法二较差，疗法一最差。服用疗法三的患者应该在二十五周左右停药，而 服用疗法四的最好在十九周左右停止用该种药。 作为问题二

10、的延伸，考虑不同疗法对不同年龄的艾滋病患者有不同的疗效， 将年龄分为三组来找出不同年龄段的最佳治疗方法。同上运用SPSS中的 Kruskal-Wallis H Test和中位数检验法给出了适合于不同年龄段的最优疗法： 第一个年龄段（1525岁）疗法1 第二个年龄段（2540岁）疗法3 第三个年龄段（40岁以后）疗法4 如果患者还要考虑治疗费用，这样就有费用和疗效两个因素影响最优疗法 的选择问题。 我们给出了多准则决策方法层次分析法对四种疗法的价格和疗 效进行了定量的综合评价。 得出对于不发达国家和地区，疗法一优于其余三种方 法。 运用疗法一的模型四（同时参考人民网、 搜狐网、 安徽新闻网等多家

11、权威网站 的消息的只要 CD4 细胞计数能够维持在 350/ul 就不应该停用药这一原则），用 计算机模拟出用疗法一的最佳终止此疗法时间是在三十四周左右。 关键词关键词 SPSS11.5 非线性曲线拟合 线性插值 层次分析法 非参数检 验 一 问题重述 1、 背景 本题目来源于世界人们都很关注的艾滋病的治疗问题。 艾滋病的医学全名为 “获得性免疫缺损综合症”，英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为 “人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。艾滋病是当前人类社会最严重 的瘟疫之一，从 1981 年发现以来的 20 多年间，它已经吞噬了近 3000 万人的生 命。 医 学 入 选 标

12、 准 临 床 主 要 依 靠 体 格 检 查 和 病 史 ， 实 验 室 标 准 （CD4200/mm3），则主要依靠 CD4 细胞计数，如果无法进行 CD4 检测，也 可检测总淋巴细胞计数（TCL1200/mm3）。 CD4 细胞计数优于总淋巴细胞计数 如果条件允许应尽可能采用CD4 细胞计数。 人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治 疗的目的，是尽量减少人体内 HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地 降低 CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 然而，

13、迄今为止，只有几种公认的能够抑制和延缓其病程的药外，尚无治愈艾滋病 的特效药物。目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多 国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS 疗法。 2、问题 现有美国艾滋病医疗试验机构ACTG 公布的两组数据。 第一组数据是300多 名病人同时服用 zidovudine （齐多夫定）， lamivudine （拉美夫定 ）和 indinavir（茚地那韦）每隔几周测试的 CD4 细胞计数和 HIV 浓度（每血液里的 数量）;第二组是是将 1300 多名病人随机地分为 4组，每组按下述 4种疗法中的 一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4

14、浓度（具体数据见附件 1 和附件 2；数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用； 600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平）。 现需解决以下三个问题： （1）、利用附件 1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治

15、疗终止 时间。 （2）、利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准），并 l 对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 （3）、 如果病人需要考虑 4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者 提前终止）有什么改变？（艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品 价格如下：600mg zidovudine 1.60 美元，400mg didanosine 0.85 美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元） 二 基本假设 通过对该问题的分析，我们认为，题目给出的部分数据是不具备参考价值 的。 由于检测的时间比较长，经过统计，大部分被调查者都可以做四到五次检测 而题目给出的数据有很多被调查者只做了一次检测，还有一部分缺省值，在此 我们考虑可以将这一部分数据剔除，而不会影响总的结果。 对此，我们做出如下 一些合理的假设： 1、假设所有的数据都是可靠的，不包括人为造成的不合理因素。 2、假设数据中的奇异数据和缺省值忽略后对总体信息不会有显著的影响。 3、假设在两次相邻的测试时间段内，病人血液中 CD4 和 H